（3）数据落在［10.95，11.35）范围的频率为 0.13+0.16+0.26+0.20=0.75.
12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：
甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50； 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，59. （1）制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；
（2）计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性； （3）能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么？ 解 （1）制作茎叶图如下：
从茎叶图上可看出，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.
22（2）x甲=33，s甲≈127.23，x乙=27，s乙≈199.09， 22∴x甲＞x乙, s甲＜s乙，
∴甲运动员总体水平比乙好，发挥比乙稳定.
（3）不能说甲的水平一定比乙好，因为上述是甲、乙某赛季的得分情况，用样本估计总体也有一定的偶然性，并不能说一定准确反映总体情况.
§11.3 线性回归方程
基础自测
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. 答案 ①②
1.下列关系中，是相关关系的为 （填序号）.
2.为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是 （填序号）. ①直线l1,l2有交点（s,t)
②直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t) ③直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行 ④直线l1,l2必定重合 答案 ①
3.下列有关线性回归的说法，正确的是 （填序号）. ①相关关系的两个变量不一定是因果关系 ②散点图能直观地反映数据的相关程度
③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 ④任一组数据都有回归直线方程 答案 ①②③ 4.下列命题：
①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；
?x+a?,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. ?=b?及回归系数b③通过回归直线y其中正确命题的序号是 . 答案 ①②③
?=0.50x-0.81,则x=25时，y?的估计值为 . 5.已知回归方程为y答案 11.69
例1 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 水稻产量
15 20 25 30 35 40 45 320 330 360 410 460 470 480
（1）将上述数据制成散点图；
（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？
解 （1）散点图如下：
（2）从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化 肥施用量的增加而增长.
例2 （14分）随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出
的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：
家庭编号 xi（收入）千元 yi（支出）千元
（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？ （2）若二者线性相关，求回归直线方程. 解 （1）作出散点图：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5 5分
观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系. （2）x=
7分
1 (0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74, 10
9分
y=
1（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42， 10?=b?xy?nx?yiii?1nn≈0.813 6，
22i?nx?xi?1?=1.42-1.74×0.813 6≈0.004 3， a?=0.813 6x+0.004 3. ∴回归方程y标准煤的几组对照数据.
x 3
13分 14分
例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨）
4 5 6 y
（1）请画出上表数据的散点图；
2.5 3 4 4.5 ?x+a?=b?； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解 （1）散点图如下图:
（2）x=
43?4?5?62.5?3?4?4.5=4.5,y==3.5 44?xy=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.
iii?1?xi?1422222i=3+4+5+6=86
?=i?1∴b4?xy?4x?yii4=
2i?xi?1?4x266.5?4?3.5?4.5=0.7 286?4?4.5?x=3.5-0.7×4.5=0.35. ? =y-ba?=0.7x+0.35. ∴所求的线性回归方程为y（3）现在生产100吨甲产品用煤 y=0.7×100+0.35=70.35，
∴降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.
1.科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.
年平均气温 年降雨量 （1）试画出散点图；
（2）判断两个变量是否具有相关关系. 解 （1）作出散点图如图所示，
12.51 748 12.84 542 12.84 507 13.69 813 13.33 574 12.74 701 13.05 432
(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系.
2.在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：
温度(x) 0 10 20 50 70 溶解度（y) 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0 由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程. 解 x=30,y=
66.7?76.0?85.0?112.3?128.0=93.6.
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