专题20 稳恒电路计算
稳恒电路中，电流不随时间变化，相应地，导体内部有一稳恒电场，电荷在电场力作用下做定向移动消耗电场能，电源中非静电力做功，将其他形式的能转变为电场能，这是稳恒电路的基本情况。各种形式的电路有一些共同的基本规律，例如欧姆定律，焦尔定律，基尔霍夫定律，从这些基本规律出发，抓住电路的特征，才能完成对一个电路的计算。
先介绍一段含源电路的欧姆定律。在电路计算中，常须确定整个电路中某一段含有电源的电路的端电压，我们用电势的概念处理这类问题。如图所示一段电路，若要确定A端与B端间的电势差，先设定从A向B电势降为正、升为负，则
UAB??A??B?I1(R1?r1)?E1?E2?I2(R2?r2?r3)?E3； 若要确定A端与C端间的电势差，先设定从A向C电势降为正、升为负，则
UAC??A??C?I1(R1?r1)?E1?I3R3。
一段电路两端电势差等于这段电路中所有电源电动势与电阻上电压降的代数和，写成一般式为UAB??A??B??E??iAIRi。若得到
?E??IiiRi?0，则?A??B；
?E??IR?0，则?iii??B。
【例1】一电路如图所示，已知R1?R2?R3?R4?2?，R5?3?，E1?12V，E2?8V，
E3?9V，r1?r2?r3?1?，求Uab、Ucd。
【分析与解】先由全电路欧姆定律求出回路电流大小
I?E1?E2?0.4A，
R1?R2?R3?R4?2r电流方向逆时针。
在图中，a、b两点间实际上有两段含源电路，我们可以任选其中一段，比如aR1E1R3b段来应用一段含源电路的
欧姆定律：Uab?E1?I(R1?R3?r1)?10V，且a点电势高于b点电势；同样，求Ucd时也可选择两个中的任一个，例如对下半个电路应用一段含源电路的欧姆定律：Ucd?E2?E3?I(R2?R4?r2)?1V，说明c点电势（与a点相同）比d点高1V。 【例2】如图所示电路中，R1?2?，R2?1?，R3?3?，
E1?24V，E2?6V，r1?2?，r2?1?，O点接地，试确
定a、b、c、d各点电势及每个电池的端电压Uab、Ucd。 【分析与解】先求出回路中的电流：
I?E1?E2?2A，
r1?r2?R1?R2?R3方向如图中标示。
UaO?IR2?2V，O点电势为零，则?a?2V；
Uab??Ir1?E1?(?4?24)V?20V，
?b?(?20?2)V??18V；
U?(?184)?V14??V；?RI??3V6；又Ubc??IR1??4V，则?c??而?d?U b?cbOd? 电池1两端电压Uab??Ir1?E1?20V，而电池2两端电压Ucd??Ir2?E2??8V，“?”表示?d??c。
在电子技术等实际应用电路中，需要解决的电路问题往往较为复杂，计算这样的电路，
需要用到基尔霍夫定律。基尔霍夫第一定律是电荷守恒定律在有分支的电路中的表现形式：在任一节点处，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和，用正号与负号区分流向节点
?I?0；基尔霍夫第二定律说明，沿任一闭合回路的电势增量的代数和等于零，即?E??IR?0，这个定律是稳恒电场为势
的电流与从节点流出的电流，则电路中的各节点总有
场的必然结果。应用基尔霍夫定律解决分支电路问题时，要根据待求未知数个数建立相同数的独立方程。一般来说，一个分支电路有n个节点，那么其中只有n?1个独立的基尔霍夫第一定律方程；取回路建立基尔霍夫第二定律方程时，各回路中至少有一段电路是其他回路中未涉及的，这样的回路方程才是互相独立的。至于每一电路上电流的方向可以先作设定，结果为负值说明实际电流方向与所设相反。
【例3】例1电路中，若将c、d短路，a、b间电势差是多少？
【分析与解】c、d短路后，设各支路电流为I1、I2、I3，方向设定如图所示。若求知I3，可得Uab?E3?I3(R5?r3)。 但我们面对的是I1、I2、I3三个未知电流，也就是说我们需
要根据基尔霍夫定律建立三个独立的方程，由基尔霍夫第一定律只有一个独立方程，可对a点建立：
I1?I3?I2， ① 再由基尔霍夫第二定律，对上半个回路有
I1(r1?R1?R3)?E1?E3?I3(r3?R5)?0， ②
对下半个回路有
I2(r2?R2?R4)?E2?E3?I3(r3?R5)?0， ③
将已知数据代入：I1?I3?I2，5I1?4I3?3，5I2?4I3?1，解得I3??所设相反，故Uab?9.62V。 利用基尔霍夫定律，对有多个电源连接的电路，可用一个“等效电源”来替代。若两个电池连接在如图甲所示电路，由基尔霍夫第二定律：E1?I(R?r1?r2)?E2?0，则通过电阻R的电流I?势为E等效2A，I3方向与13E2?E1，这就是说，该电路中的两个电源可以等效为一个电动
R?r1?r2?(E2?E1)、内电阻为r等效?(r1?r2)的电源；若两个电池连接在如图乙所示电
路，对节点a和回路E1aRbr1E1及回路E2aRbr2E2，由基尔霍夫定律：I?I1?I2，
IR?I1r1?E1?0，IR?I2r2?E2?0，可得
E1r2?E2r1E?IRE2?IRr1?r2I?1??I?，
rrr1r2R?12r1?r2rrEr?E2r1对电阻R而言，将这两个电源替换成一个电动势E等效?12，内电阻r等效?12的
r1?r2r1?r2电源，通过的电流及其两端电压不变；推广到多回路电路，在分析某一分支电路的电流或电
压时，也可以将电路的其余部分用一个等效电源电动势（大小等于该分支电路断开时两端电压）和一个等效电源内电阻（大小等于该分支电路断开、并撤去其余部分电路中所有电动势时两端间的电阻）来代替，这就是等效电源原理。
如图所示的电路称为惠斯通电桥，若接在C、D间“桥路”上的电流计读数为零，叫做电桥平衡。由于ICD?0，说明?C??D，且通过电阻R1的电流与通过电阻R2的电流相同为I1，通过电阻R3的电流与通过电阻R4的电流相同为I2，则有UAC?I1R1?I2R3?UAD，UCB?I1R2?I2R4?UDB，两式相比有R1/R2?R3/R4。惠斯通电桥可用来比较未知电阻
与已知电阻：若R2为一标准电阻，阻值为R0，R3、R4为两段粗细均匀的同种电阻丝，调节D点的位置至无电流通过G表，若此时R3的长度为l，R4的长度为L，则待测电阻
R1?(l/L)R0。
电势差计是用来测定未知电动势的一种装置，其工作原理基于基尔霍夫定律。如图所示是电势差计工作电路，各个电源的电动势及各电流方向标示在图上，Ex为待测电动势。双掷开关S投向1，对节点A有I1?I?I?；对回路ABCDA有
Ex?Ir?IRg?I?R?0，由此二式得I?I1R?Ex。调节
R?r?RgR?Rx，使I?0，即电流计读数为零、电势差计达到平衡时I1Rx?Ex?0，即
Ex?I1Rx。 ①
保持电路不变，将开关S投向2，用一个标准电动势E0来代替Ex，再调节R到R0，使电流计读数为零、电势差计重新平衡，这时有
E0?I1R0。 ②
从AEFGA回路可知E0代替Ex重新平衡后，I1不变，比较①、②两式得Ex?RxE0，R0这样，用比较法从标准电动势可精确地测出未知电动势。操作中，使电流计读数为零，亦即使R上的电压降补偿了回路ABCDA中的电动势，故电势差计的这种工作电路叫做补偿电路。若电路中某一支路含有电容器，在支路端电压发生变化时，电容器极板上电量将发生变化，该支路有充（放）电电流，但达到稳定时，该支路等效于断路，这是计算含容电路的一个基本思路。
【例4】阻值为R的四个等值电阻，电容为1?F的四个电容器以及四个电池在立方体框架的各边上连接起来，如图所示。各电池的电动势E1?4V，E2?8V，E3?12V，E4?16V，它们的内阻可以忽略。⑴求各个电容器的电压和电量；⑵若H点与B点之间短路，求电容器C2上的电量。
【分析与解】先将这个复杂的立体网络变换成平面网络如图所示，可以看到，电流回路为
HEFBCDH，设回路电流为I，方向设定如图所示，由基尔霍夫定律：I?E1?E4。各4R电容器两端电压可通过取相应的一段支路，由一段含源电路的欧姆定律求得，它们分别是：
UDA?E1?E2?IR， ①
UEA?E4?E2?IR， ② UGC?E1?E3?IR， ③ UGF?E4?E3?IR。 ④
将数据代入①式得到C1电压1V（?D??A）；代入②式即得C2的电压为5V（?A??E）；
代入③式得C3电压为5V（?G??C），代入④式得到C4电压（?G??F），易得四个电容器上电量依次为1?C、5?C、5?C、
1?C。若将H点与B点之间短路，电流回路成B(H)EFB(H)，
E8该回路中电流设为I?，I???4?，方向为B(H)FEB，此
2RR时UEA?E4?E2?I?R?0，故电容器C2此时
电量为零。
【例5】在图所示的网络中，已知部分支路上电流值及其方向，某些元件参数和支路交点的电势值（有关数值及参数已标在图上）。请你利用所给的有关数值及参数求出含有电阻Rx的支路上电流值Ix及其方向。
【分析与解】这样一个复杂网络问题，还是依据电路基本规律处理。首先，对网络中某一部分电路，流入电流与流出电流相等，对一段电路，电流与电压遵从欧姆定律所确定的关系。取一个包括Ix的电流出入区，将其他各电流求出，即可求得Ix。
通过观察，我们很快会对图用虚线围出的区域感兴趣，注意到有电容器的支路为断路（无电流），这个区域电流出入端口共有A、D、F、G四个，D端有3A电流流出区域已是不争事实，而A端与G端联系着部分确定电路，有可能求出从这两个端口出或是人多少电流。
先计算通过A端的电流IA，对网络右下角部分的电路，由?A??B?E2?IB?AR，得
IB?A?1A、由?A??C?E6?IA?CR，得IA?C??6A，则从A端流向虚线区域的电流IA?(6?1?2)A?5A；
再取GH段电路来，?G?5V已给定，而?H?6V?5?0.2V?5V??G，可见并无电流沿
HG出入端口G，于是，我们知道了通过电阻兄的电流Ix?5A?3A?2A，且是从F点
流出的。
金属的导电性质已为我们熟悉，下面我们介绍其他一些物质的导电特性。 大块导体导电 电源两端连接着导电性质不均的导线或大块导体，如大块金属、材料不均匀的导线，这时导体不能抽象成一根粗细均匀的导线，它的电阻不能直接用电阻定律R??l计算。大块导体加上恒定电压后，也会S建立起稳恒电场，但电流分布情况较均匀导线中复杂，例如半球形接地电极在附近地面下的电流分布如图所示呈球对称；一对电极周围的电流分布如图所示，与一对等量异种电荷周围的电场分布相似；同轴电缆中的漏电电流分布则如图所示，是辐向均匀分布的。
在以上各电流分布图中，带箭头的曲线称为电流线，与描述导体内电场的电场线相当，电流线各点的方向表示正电荷在该点定向运动的方向，亦即该点电场强度的方向；用电流线的疏密来表示电流密度—垂直于电流方向上单位面积的电流的大小。设在大块导体中某处电场强度为E，电流为I，沿电场方向取一长?l、横截面积为?S的元导体，根据欧姆定律，有
I?EIE??lE??S??E。此式，若电流密度用j表示，则有j???l??S???S给出了大块导体中各点电场和电流分布之间的关系，是欧姆定律在大块导体中各点的精细表述。式中?是电阻率的倒数，叫做电导率，国际单位为西门子／米（S/m），表征导体各处的导电性，大导体电路的计算须以此式为据。
【例6】电线被风吹断，一端触及地面，从而使200A的电流由接触点流入地内，如图所示。设地面水平，土地的电导率??10S/m，当一个人走近输电线接地端，左、右两脚间（约0.6m）的电压称做跨步电压，试求距高压线触地点1m和10m处的跨步电压。 【分析与解】高压线触地后在地内电流分布可认为球对称，那么，距触地点r处的电流密度应为j??2I2?r2，场强为E?j??I2??r2，即场强是按到触地点距离平方反比
分布的，与点电荷电场或引力场相类比，电势分布规律应为U?的跨步电压为
I2??r，故人两脚a、b间
11I?r?)?。
2??rarb2??ra(ra??r) 将?r?0.6m及ra?1m或ra?10m代入，可得距高压线触地点1m处的跨步电压高达
??18V。 Uab?1194V；而10m处的跨步电压UabUab??a??b?(电解液导电 电解液里的电流是正、负离子定向移动形成的。与金属导电相比较，一是
载流子—形成电流的运动电荷不同，不是自由电子而是电解液里的正、负离子；二是电解液两极间加上电压形成电场通过电流时，会在两极引起电解反应。电解液导电时，在电场不很强的情况下，电阻的微观机理与金属导电相同，电流与电压关系适用欧姆定律，产生的电热也符合焦耳定律，但由于存在化学变化，含有电解液导体的电路不是“纯电阻”电路。 电解液导电总伴随着电解—在外电场的作用下，发生在电极附近的化学反应。发生电解时，在极板上析出的物质质量与哪些因素有关呢？电磁场理论的“开山鼻祖”—英国实验物理学家法拉第通过多次实验得到了下述两条关于电解的定律：
法拉第第一定律是关于在任一电极上分离出来的物质的质量m跟通过电解液中的电流I和通电时间t成正比，即m?kIt?kq。式中k称做电化当量，它只与分离出来的物质种类有关。某种物质的电化当量是恒定的，在数值上等于单位电量通过电解液后，在电极上析出的这种物质的质量。
法拉第第二定律是关于各种物质的电化当量k与它们的摩尔质量M成正比而与化合价
In成反比，即k?M4。式中F叫做法拉第常量，F?9.65?10C/mol。 Fn 气体导电 气体在一定作用下（高温、高压或射线照射等）发生电离后产生的放电现象就是气体导电。气体导电时，电荷携带者有电子、正离子或电子附着在中性原子上形成的负离子。根据载流子形成的原因，气体放电分为被激放电与自激放电两种形式：只是由于加热、辐射等原因而与电场作用无关的电离形成的气体导电称为被激导电；由于强电场作用，通过动能极大的电子或正离子对中性分子碰撞电离而形成的气体导电称为自激导电。 欧姆定律对气体导电是不适用的。
半导体导电 诸如硅、锗、氧化亚铜、砷化镓等物质，由于其导电性能介于导体与绝缘体之间而被称为半导体，半导体中载流子有两种，一种是电子导电，即半导体材料中的自由电子的运动；一种是“空穴”导电，这是一种失去电子的共价键位（空穴）因被束缚电子填补的运动，对应地，把电子导电型材料叫做N型半导体，而空穴导电型材料叫做P型半导体。半导体的导电能力具有“热敏性”“光敏性”及“掺杂效应”，更特别的是，把一块P型半导体和一块N型半导体合在一起，在交界面上，由于空穴与电子向对方的扩散运动，会形成一个叫做PN结的薄层，PN结具有单向导电性—加正向电压时，PN结导通，加反向电压时，PN结截止。晶体二极管就是有一个PN结的电子元件，故具有单向导电性；晶体三极管有两个厚薄不同的PN结调控通过三极的电流，三极管具有放大电流或电压的作用。