概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B(10,0.7), 命中3炮的概率为
3P{??3}?C10?0.73?0.37?0.0090
至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为
iP{??3}?1?P{??3}?1??C10?0.7i?0.310?i?0.9984
i?02 因np+p=10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B(10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为
iP{??2}??C10?0.01i?0.9910?i?0.9999
i?02 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B(20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此
P{??270}?P{15??270}?P{??
20270}?P{??18}?15
i??C20?0.8i?0.220?i?0.2061i?18 4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不
大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B(20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此
P{??0.15}?P{?20i?0.15}?P{??3}??C20?0.1i?0.920?i=0.867
i?03 5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20
件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B(20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率
P{??3|??2}?P{??3???2}
P{??2}
因事件{??2}?{??3}, 因此{??3???2}???2 因此
P{??3}P{??3|??2}??P{??2}?P{??i}?P{??i}i?2i?32020??P{??i}?P{??2}i?220?P{??i}i?220?1?P{??2}?P{??i}i?22C20?0.12?0.918?1?1?0.920?20?0.1?0.91920
?1?P{??2}1??P{??i}i?01?1?0.2852?0.53120.6083 6. 抛掷4颗骰子, ξ为出现1点的骰子数目, 求ξ的概率分布, 分布函数, 以及出现1点的骰子数目的最可能值. 解: 因掷一次骰子出现一点的概率为1/6, 则ξ~B(4,1/6), 因此有
1?5?kP{??k}?C4?k???(k?0,1,2,3,4),6?6?x?0?0 k4?k??k?1??5?F(x)???C40?x?4?????k?x?6??6??x?4?1或者算出具体的值如下所示： ξ P
0 0.4823
1 0.3858
2 0.1157
3 0.0154
4 0.0008
4?k
x?0?0?0.48230?x?1???0.86811?x?2 F(x)???0.98382?x?3?0.99923?x?4??x?4?1 从分布表可以看出最可能值为0, 或者np+p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数, 因此最可
能值为[5/6]=0. 7. 事件A在每次试验中出现的概率为0.3, 进行19次独立试验, 求(1)出现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数. 解: 设19次试验中事件A出现次数为ξ, 则ξ~B(19,0.3), 因此 (1)ξ的数学期望为Eξ=np=19×0.3=5.7 方差为Dξ=np(1-p)=19×0.3×0.7=3.99
标准差为???D??3.99?1.997
(2)因np+p=5.7+0.3=6为整数, 因此最可能值为5和6. 8. 已知随机变量ξ服从二项分布, Eξ=12, Dξ=8, 求p和n. 解: 由Eξ=np=12 (1) 和Dξ=np(1-p)=8 (2) 由(1)得n=12/p, 代入到(2)得 12(1-p)=8, 解出p=(12-8)/12=1/3=0.3333 代回到(1)式得n=12/p=12×3=36 9. 某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一n=4的贝努里试验, 且p=15/60=0.25, 因此, 设ξ为每个时刻要用秤的售货员数, 则ξ~B(4, 0.25), 当ξ>2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为
3P(??2)?C4?0.253?0.75?0.254?0.0508
因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用. 10. 已知试验的成功率为p, 进行4重贝努里试验, 计算在没有全部失败的情况下, 试验成功不止一次的概率. 解: 设ξ为4次试验中的成功数, 则ξ~B(4,p), 事件\没有全部失败\即事件{ξ>0}, 而事件\试验成功不止一次\即事件{ξ>1}, 因此要求的是条件概率P{ξ>1|ξ>0}, 又因事件{ξ>1}被事件{ξ>0}包含, 因此这两个事件的交仍然是{ξ>1}, 因此
P{??1|??0}?
4P{??1}1?P{??0}?P{??1}??P{??0}1?P{??0}3?1?q?4pq1?q4
其中q=1-p 11. ξ服从参数为2,p的二项分布, 已知P(ξ≥1)=5/9, 那么成功率为p的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?
解: 因ξ~B(2,p), 则必有P(??1)?1?P(??0)?1?(1?p)?5/9, 解得
2(1?p)2?1?5/9?4/9
1?p?2/3p?1?2/3?1/3
则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数, η~B(4,1/3), 则
16?2?P(??1)?1?P(??0)?1?(1?p)4?1????1??0.802
381??12. 一批产品20个中有5个废品, 任意抽取4个, 求废品数不多于2个的概率
解: 设ξ为抽取4个中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 且有
i4?iC5C15P{??2}???0.968 4Ci?02024 13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布
公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为0.1, 从1000个产品
中任意抽取3个, 求废品数为1的概率. 解: 设任抽3个中的废品数为ξ, 则ξ服从超几何分布, 废品数为0.1×1000=100
12C100C900P{??1}??0.2435 3C1000而如果用二项分布近似计算, n=3, p=0.1, ξ~B(3,0.1)
1P{??1}?C3?0.1?0.92?0.2430
近似误差为0.0005, 是非常准确的.
14. 从一副朴克牌(52张)中发出5张, 求其中黑桃张数的概率分布. 解: 设ξ为发出的5张中黑桃的张数, 则ξ服从超几何分布, 则
i5?iC13C52?13P{??i}?(i?0,1,2,3,4,5) 5C52则按上式计算出概率分布如下表所示: ξ P
0 0.2215
1 0.4114
2 0.2743
3 0.0815
4 0.0107
5 0.0005
15. 从大批发芽率为0.8的种子中, 任取10粒, 求发芽粒数不小于8粒的概率. 解: 设ξ为10粒种子中发芽的粒数, 则ξ服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其中p=0.8, n=10, 则
iP{??8}??C10?0.8i?0.210?i=0.6778
i?810 16. 一批产品的废品率为0.001, 用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率, 以及不超过2件的概率. 解: 设ξ为800件产品中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则ξ~B(800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为 λ=np=800×0.001=0.8
0.82?0.8P{??2}?e?0.14382 i20.8?0.8P{??2}??e?0.9526i!i?0 17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有0.8个疵点, 若规定疵点
数不超过1个为一等品, 价值10元, 疵点数大于1不多于4为二等品, 价值8元, 4个以上为废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值. 解: 设ξ为产品表面上的疵点数, 则ξ服从普哇松分布, λ=0.8, 设η为产品的价值, 是ξ的函数. 则产品为废品的概率为
0.8i?0.8P{??4}?1?P{??4}?1??e?0.0014
i!i?04
0.8i?0.8P{??10}?P{??1}??e?0.8088
i!i?01
0.8i?0.8P{??8}?P{1???4}??e?0.1898
i!i?24 则产品的平均价值为
Eη = 10×P{η=10}+8×P{η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元) 18. 一个合订本共100页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率. 解: 设ξ为每页上的印刷错误数目, 则ξ服从普哇松分布, λ=2, 则1页印刷错误都不超过4个的概率为
2i?2P{??4}??e?0.9473
i?0i!4而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为
?P{??4}?100?0.004454
19. 某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布, 如果它的平均寿命Eξ=1000小时, 写出ξ的概率密度, 并计算P(1000<ξ≤1200). 解: 因Eξ=1000=1/λ, 其概率密度为
x?1?1000??(x)??1000e??0
x?0 x?01000?1000
P(1000???1200)?e?e?12001000?e?1?e?1.2?0.0667
20. ξ~N(0,1), Φ0(x)是它的分布函数, φ0(x)是它的概率密度, Φ0(0), φ0(0), P(ξ=0)各是什么值? 解: 因有
?0(x)?12?e?x22x, ?0(x)????12?e?t22dt, 因此φ0(x)为偶函数, 由对称性可知
Φ0(0)=0.5, 并有?0(0)?12?,
因ξ为连续型随机变量, 取任何值的概率都为0, 即P(ξ=0)=0.
21. 求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下, 还可以继续使用100小时而不坏的概率?
解: 要求的概率为P(ξ>600|ξ>500), 因此