在直角坐标系中，M点的位置可用坐标?x1,x2,x3?表示，所以数量场还可以表示为：
?(M)??(x1,x2,x3)
同样，矢量场可表示为：
a(M)?a(x1,x2,x3)
2. 数量场的等位面
物理概念：在同一瞬时把具有相同函数值的诸点联成的面，称为等值面或等位面。 数学概念：在给定瞬时，在直角坐标系中等位面的方程显然为
?(x1,x2,x3)?c
式中c为常数。不同的常数将形成不同的等位面(总称等位面族)，在等位面上不同的函数值?是相等的。这些等位面的充满了整个数量场所在的空间，且互不相交。通过数量场的每一点都有一个等位面；一个点只在一个等位面上。有了等位面的概念，使得函数?在空间的变化率问题就转换为从一个等位面到另一个等位面变化率的问题，这样在分析问题时将带来许多方便。
3. 矢量场的矢线
前面我们引进的等位面的概念形象的描绘了数量场，对于矢量场a(M)，则引入矢线的概念，以直观的表示他的分布情况。所谓矢线，就是这样的曲线，在给定瞬时它的每一点的切线方向和对应于该点的矢量a的方向重合。对于流体的速度矢量场，矢线就是流线。所以矢量场中的每一点均有一条矢线通过，矢线族充满了整个矢量场所在的空间。静电场中的电力线，磁场中的磁力线都是矢线的例子。
若已知矢量场a?a(x1,x2,x3)，怎样求出矢线方程呢？
设M(x1,x2,x3)为矢线上的任一点，其矢径为 r?x1e1?x2e2?x3e3 其微分 dr?dx1e1?dx2e2?dx3e3
在点M处与矢线相切，按矢线定义，dr必定在M点与矢量
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a?a1e1?a2e2?a3e3
共线。由于矢量dr和a共线，其对应分量必成比例，因此有
dx1dx2dx3 ??a1a2a3这就是矢线的微分方程。若利用共线条件，也可得到它的矢量形式的方程
dr?a?0
例 已知流体的运动速度的速度分量为V1??cx2,V2??cx1,V3?0,其中c是正的常数，试求该速度场的流线族。
解：这是一个定常流动。因为流线的微分方程是
dx1dx2?VV2
1所以
dx1dx?2 ?cx2cx1即 x1dx1?x2dx2?0
22x?x?C 12积分后得
所以流线族是以坐标原点为圆心的同心圆，如图所示。为了进一步确定流体运动的方向，求出速度V与x1,x2轴夹角的余旋：
cos?V,x1??cos?V,x2??V1?VV??x22x12?x2V2x1
若M点处于第一象限，x1和x2都为正值，则cos?V,x1??0，故V与x1轴成钝角，因而流体运动的方向是逆时针方向的。
2x12?x221
二、数量场的方向导数和梯度
1. 数量场的方向导数
在数量场中除了解物理量在场中的分布情况，更要了解物理量在 场中各点的 沿每一方向的变化情况，例如变化率即导数。一般来说，这个导数的大小在不同方向上是不同的。为此，需要引进方向导数的定义。
在数量场中取一点M(r)，该点的函数值为
?(r)。经过此点引一任意射线l，并用l表示沿射线
的单位矢量，如上图所示。然后在此射线上取与M相邻的一点M?(r??r).当M点移到M?点时，函数?得一增量
??(r)??(r??r)??(r)
由导数概念得
?(r??r)??(r)???? (1.3.1)
?lim??r?0?r?0?r?r?llim??为函数?沿l方向的导数。 ?l??由(1.3.1)我们可见，力向导数是一数量，它代表了函数?沿方向l对空间距离的变
?l我们称化率。
在直角坐标系中，方向导数有以下定理：
定理1 若函数?(x,y,z)在M(x0,y0,z0)点可微，cos?，cos?，cos?为l方向的方向余弦，则函数?(x,y,z)在M(x0,y0,z0)沿方向的方向导数必存在：
?????????cos??cos??cos? (1.3.2) ?ll?x?y?z??????，，是函数?在点M处得偏导数。 ?x?z?y定理2 函数?(M)在M点沿给定曲线c(正向)对弧长s的导数等于该函数在点M处沿切线方向(指向c 的正向一侧)的方向导数。曲线c的正向规定为弧长增大的方向。函数?22
沿给定曲线对弧长的导数与函数?在M点沿曲线切线方向的方向导数相等。线正向单位长度弧长上函数?的变化量。
d?代表沿曲ds2. 数量场的梯度
函数?(M)在同一点M处，沿不同方向的变化率是不同的。然而，从一给定点出发有无穷多个方向，因此函数沿哪个方向变化率最大呢？最大的变化率是多少呢？为了回答这些问题，现作如下分析：
在直角坐标系中，由式
?????????cos??cos??cos?可得： ?ll?x?y?zl方向上单位矢量l?(cos?,cos?,cos?)，而令G=(??????,,)，则(1.3.2)式可写?x?y?z为
???G?l?Gcos(G,l)，即G在给定点为固定矢量，且G在l方向上的投影等于函?ll数?在该方向上的方向导数。当方向l与矢量G的方向一致时，即cos(g,l)?1时，方向导数有最大值。其最大值为
???l ?G。梯度就是数性函数增加的最快的矢量。其定义为：
lmax数量场?(M)在点M的梯度是过该点的一个矢量G，沿着该矢量的方向，函数?在该点的变化率最大，而且最大变化率的值正好等于该矢量的模。则矢量G为函数?(M)在点M处得梯度，记为grad?。
grad??G?(??????,,) (1.3.3) ?x?y?z则
??????s?l?grad???，?为曲线S的单位切矢。
lmax3.梯度的几何意义：
数量场中?(M)每一点的梯度垂直于该点的等位面，且指向?的增大的方向。过M点
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作函数?的等位面??C（如图），再过点作M等位面的切平面A，于是曲面??C上过点
M的所有曲线的切数都在此切平面上。根据等位面的性质，在等位面??C上，函数?保
持同一数值，故函数?在等位面上沿任一方向的导数都为零，即
d?????0ds?l
因此
则，梯度矢量grad?grad?cos(grad?,l)?0，
与切平面A在M正交，也就是说数量场中每一点
的梯度矢量垂直于该点的等位面。于是函数?沿着梯度矢量方向增加量最快，可知梯度矢量指向?增大的方向，即梯度指向等量面的法向，其模为?沿n方向的方向导数
??，表示为?ngrad????n ?n梯度是数量场的一个重要性质，如果把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应，就可得到一个由梯度矢量形成的场—梯度矢量场。在流体力学中，无旋流速度位的梯度矢量场就是它的速度矢量场。
数性函数的微分等于其梯度点乘矢径的微分。
d??grad??dr (1.3.4)
证明：?????????dx?dy?dz ?x?y?z??????????,,???dx,dy,dz??grad??dr ??x?y?z?公式：矢径模的梯度等于单位矢径。即
gradr?r?r0 (1.3.4) r证明: gradr??而 r???r?r?r?,,? ?x?y?z??x2?y2?z2 24