2010 年四年级秋季班 第十讲 体育比赛中的数学问题 程雪 四年级秋季班（七级下） 10.1 第十讲 体育比赛中的数学问题 一、场次
若队伍为n，那么比赛总场次m 为——
（注意：这里的总场次m 指的是站在组委会的角度计算共有多少场比赛。）
1、淘汰赛：胜者进入下一轮比赛，负者直接淘汰。 m = n-1 ——淘汰掉多少队伍，就意味着比多少场比赛 2、单循环：比赛的每两支队伍都要比且只比一场 m = 1+2+3+……+(n-1) ——类似于握手问题
=(n-1)·n÷2 —— 每支队伍都要比（n-1）场，n 支队伍共比（n-1）·n 场，
但每场比赛都算了2 遍，所以最后要除以2。
3、双循环：比赛的每两支队伍都要比且比两场，比如足球中的主客场制度。 m =(n-1)·n
例1 20 名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单循环赛，那么冠军一共要比赛多少 场？一共要进行多少场比赛？
解析：单循环赛中，每个参赛运动员都要和除自己之外的运动员比赛，都要比
20-1=19（场），冠军也是。
如果问一共进行多少场比赛，才是19×20÷2=190（场） （尖子）学案1 蓝蓝组织16 人去体育场进行羽毛球比赛，两两配对进行淘汰赛，要决出冠军， 一共要进行多少场比赛？
解析：本题是淘汰赛，要决出冠军，即要淘汰掉16-1=15 支队伍，那么就需要15 场比赛。
例2 学而思的几个校区举行篮球比赛，每两个校区都要赛一场，共赛了28 场，那么有几个 校区参加了比赛？
解析：本题是单循环，但知道的是总场次，要求队伍数。即 (n-1).n÷2=28，
那么(n-1).n=28×2=56，注意(n-1)与n 是两个连续的自然数， 想到7×8=56，所以有8 个校区。
或者想到1+2+……+7=28，即n-1=7，那么n=8 二、积分
总场次是m，总积分A 有如下规律
（注意：这里的总积分A 指的是所有参赛队伍的积分和。） 1、胜、平、负按3、1、0 制度
则2m≤A≤3m，且每出现一场平局，总分就减少1 分。 2、胜、平、负按2、1、0 制度 则A=2m
2010 年四年级秋季班 第十讲 体育比赛中的数学问题 程雪 四年级秋季班（七级下） 10.2
例3 四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2 分，负者得0 分，和棋双方各得1 分，比赛结
束后统计发现，四个人的得分加起来一定是多少？
解析： 2、1、0 制度总分不变。先算总场次3+2+1=6（场），总分2×6=12（分）
补：5 个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2 分，负者得0 分，和棋双方各得1 分，比赛结束
后，其中4 人共得16 分，问第5 个人得分是多少？
解析： 2、1、0 制度总分不变。总场次4+3+2+1=10（场），5 个人的总分为2×10=20（分）， 则第5 个人的得分为20-16=4（分）
（提高）学案2 班里举行投篮比赛，规定投中一个球得5 分，投不进扣2 分，小立一共投了
6 个球，得了16 分，那么小立投中了几个球？ 解析：实际上这是一个鸡兔同笼的题。用假设法。 假设全投中，应得分：5×6=30（分） 总差：30-16=14（分） 单位差：5+2=7（分） 未投中：14÷7=2（个） 投中：6-2=4（个）
（尖子）学案2 班里举行投篮比赛，规定投中一个球得3 分，投不进扣1 分，如果大明得了
30 分，且知道他有6 个球没有投进，那么他共投了几个球？ 解析：6 个球未投中，扣分：1×6=6（分） 投中的球共得分：30+6=36（分） 投中：36÷3=12（个） 共投：12+6=18（个） 三、逻辑推理
思路：充分挖掘场次、积分、胜负关系等信息，仔细分析、判断、推理
辅助：1、点线图 2、表格 3、假设法
例4：A、B、C、D、E 五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，A 已经赛
4 盘，B 赛3 盘，C 赛2 盘，D 赛1 盘，问此时E 同学赛了几盘？
解析：利用点线图画出相互间比赛的关系。先画A，因为他比赛了4 盘，肯定是与其他同学都
赛了一盘，然后可知D 只与A 赛了一盘。再看B，他肯定还与C、E 各赛了一盘，才符合他赛
了3 盘。这时，连线符合题意，根据图示，可知这时E 比赛了
2 场。 ○ ○ ○ ○ ○ A B C D E 4 3 2 1 ？
2010 年四年级秋季班 第十讲 体育比赛中的数学问题 程雪 四年级秋季班（七级下） 10.3
练：编号为1-6 的6 位同学参加乒乓球单循环赛，到现在为止，1 号、2 号、3 号、4 号、5 号
同学比赛的场数与自身的编号相同，问此时6 号同学比了几场？ 解析：参考上题做法。最后得到6 号同学比赛了3 场。 （提高）学案4 赵、钱、孙、李四人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果赵胜了李，并且
赵、钱、孙三人胜的场数相同，问李胜了几场？
解析：4 人进行单循环赛，总场数为3+2+1=6（场）。因为是乒乓球比赛，没有平局的情况，
那么就应该有6 个胜场。赵、钱、孙胜的场数相同，只有两种情况：1、他们各胜一场，李胜 3 场；2、他们各胜2 场，李胜0 场。 通过点线图构造（箭头指向负者）： 赵○ ○钱（已胜2 场了） 赵○ ○钱 孙○ ○李 孙○ ○李
他们三人各胜一场的情况无法实现， 他们各胜2 场的情况是可