2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的( ) A．2倍 B．2倍 C．倍 D．3
2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A． B． C． D．
3．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m?α，n∥α，则m∥n； ②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α∥β． 其中真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知则用向量，，可表示向量
为( )
=，=，
=，
A．++ B．﹣++ C．﹣+ D．﹣+﹣
5．圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为( ) A．6π B．5π C．3π D．2π
6．若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是( ) A．α内所有的直线都与a异面 B．直线a与平面α有公共点 C．α内所有的直线都与a相交 D．α内不存在与a平行的直线
7．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是( )
A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°
8．已知一个高度不限的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB=4，BC=5，CA=6，点P是侧棱AA1上
①△ADE是直角三角形；②△ADE一点，过A作平面截三棱柱得截面ADE，给出下列结论：
是等边三角形；③四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．其中有不可能成立的结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共7小题，第9～12题每题6分，第13～15题每题4分，共36分．） 9．一圆柱的底面直径和高都是3，则它的体积为__________侧面积为__________．
10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为__________．外接球半径为__________．
11．已知向量=m+5﹣，=3++r若∥则实数m=__________，r=__________．
12．各边长为1的正四面体，内切球表面积为__________，外接球体积为__________．
13．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是__________．
14．三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，M在△ABC内，∠MPA=∠MPB=60°，则∠MPC=__________． 15．M，N分别为棱SC，BC的中点，AM⊥MN，如右图，在正三棱锥S﹣ABC中，若，则正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证： （1）C1O∥面AB1D1； （2）A1C⊥面AB1D1．
17．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2别是线段PA，PC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．
，M，N分
18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP． （I）求证：BE⊥平面PAC； （II）求证：CM∥平面BEF．
19．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，且二面角B﹣EF﹣C的大小为30°，求CE的长．
20．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°． （Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数
学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的( ) A．2倍 B．2倍 C．倍 D．3 【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】直接应用公式化简可得球的半径扩大的倍数，然后求出体积扩大的倍数． 【解答】解：解：设原球的半径R， ∵球的大圆的面积扩大为原来的2倍， 则半径扩大为原来的倍， ∴体积扩大为原来的2倍． 故选B．
【点评】本题考查球的表面积、体积和球的半径的关系，是基础题．
2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥， ∴正方体切掉部分的体积为∴剩余部分体积为1﹣=，
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．
×1×1×1=，