第九章静电场和稳恒电场 9-1下列说法正确的是
(A) 闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷， (B) 闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零， (C) 闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零，
(D) 闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零。 9-2下列说法正确的是
（A）电场场强为零的点，电势也一定为零， （B）电场强度不为零的点，电势也一定不为零， （C）电势为零的点，电场强度也一定为零，
（D）电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零。
9-3电荷面密度均为 +?的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图（a）放置，其周围空间各点电场强度E（设电场强度方向向右为证、向左为负），随位置坐标x变化的关系曲线为（）
9-4两个点电荷所带电荷之和为Q，问他们各带电量为多少时，相互间的作用力最大？ 解：F?14??0?(Q?q)?qdFQ?0q? 极限条件得： 2dqr2Qd2F1且2??，故各带时，相互作用最大 ?022dq2??0r
1
9-5一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度。 解：取dl电荷元，其所带电量为：
QQQdq?dl??Rd??d?
?R?R?dE0?14??0?dqQ?d? 22R4??0Rx轴上Ex的对称为零，
∴E?Ey???dE?sin?
? ????0Q?sin?Qd??? 22224??0R2??0R9-6一均匀带电线段，带电线密度为λ，长度为L，求其延长线上与端点相距d处的场强和电势。
解：E??V??LL?dx4??0(L?d?x)20??11(?) 4??0dd?L?dx4??0(L?d?x)0??11?L?d(ln?ln)?ln 4??0dd?L4??0d9-7设均匀电场的电场强度E与半径R的半球面对称轴平行，试计算通过此半球
面的电场强度通量。 解：???E?dS?E??R2
S9-8一个内外半径分别R1为R2和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2，求各区电场分布。
解：利用高斯定理
?E?dS??q?0，有
E?4?r2??q?0
r?R1，?q?0，E1?0（1分）
2
Q1(r3?R13)R1?r?R2，E2? 3324??0(R2?R1)rR2?r?R3，E3?Q14??0r2，r?R3，E4?Q1?Q2
4??0r2电场强度的方向均沿径矢方向
9-9设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为
??kr0?r?R
??0r?R试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。（你能用电场强度叠加k为一常量。
原理求解这个问题吗？） 解：如图所示
作半径为r的同心球形高斯面，据高斯定理有：
?E?ds??q0 r?R时，q??ro??4?r?2dr??kr??4?r?2dr???kr4
0r∴E?4?r2??4k2kr，∴E?r 方向沿球半径方向 ?04?0Rr?R时，q??o?kR44??4?rdr??kR，∴E?4?r?kR，E? 2?04?0r242附：用场叠加原理来求解。将球体分割成球壳，每个球壳相当于一个带电球面，
当r?R时，场强由r半径内的各个球壳产生（因为球壳在其内部产生的场强为零，故大于半径r的球壳不在r处产生场强），每个球壳在r处产生的场强为：（球壳半径为r?）
rrdq1kr??4?r?2kr22dE?? 而dq???4?r?dr?∴E??dE??， ?dr??2004??4??0r2r4?001 3
r?R 时，E??R0kr??4?r?2kR4（以上E的方向均沿球半径方向） ?dr??224??0r4?0r19-10两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2?R1)，
r?R1；R1?r?R2；单位长度上的电荷为?。求离轴线为r处的电场强度：（1）（2）
（3）r?R2。 解：如图
用高斯定理，作同轴柱形高斯面（柱面长度为L）有： （1）r?R1时， E?2?rL?q?0?0∴E1?0 q（2）R1?r?R2时， E?2?rL?q?0??L?∴E2? ?02??0r（3）r?R2时， E?2?rL??0??L??L?0∴E3?0 ?09-11两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求（1）各区域电势的分布；（2）两球面上的电势差为多少。 解：由高斯定理可求得电场分布
E1?0 r?R1 E2?Q14??0r2er R1?r?R2
E3?
Q1?Q2er r?R2
4??0r24
由电势V??E?dl可求得各区域的电势分布，
r?当r?R1时， V1??E1?dl??E2?dl??E3?dl
rR1R2R1R2??Q11Q?Q211(?)?1 4??0R1R24??0R2R2?rR2R1?r?R2时 V2??E2?dl??E3?dl
?Q111Q?Q21(?)?1 4??0rR24??0R2?R2?r时 V3??E3?dl?rQ1?Q21
4??0r9-12点电荷q1、q2、q3、q4的电荷量均为4?10?9C，放置在一个四方形的四个顶点上，各顶点距正方形中心O点的距离均为5cm，（1）计算O点处的场强和电势；（2）将一试探电荷Q?10?9C从无穷远移到O点，电场力作功多少？（3）问（2）中所述过程中q0的电势能的改变为多少？
解：（1）位于对角的两相同点电荷在O点处的场强相互抵消，故O点的场强为零。 四点电荷在O点电势相同，故O点电势为
4?10?9V0?4???2.88?103V ?124??0r??0r3.14?8.85?10?0.05qq（2）无穷远处电势为零，A?q0(V??V0)?10?9(0?2.88?103)??2.88?10?6J （3）在移动q0过程中要克服电场力作功，它使q0的电势能增加了2.88?10?6J 9-13两个同心球面，半径分别为10cm和30cm，小球面均匀带有正电荷10-8C，大球面带有正电荷1.5×10-8C。求：离球心分别为20cm、 50cm处的电势？ 解：距球心r?20cm处是在两球面之间。该处电势为 V?q14??0r?q24??0R2?14??0(q1q2?)?900V rR2 r?50cm处是在大球面之外。该处电势为 V?q1?q2?450V 4??0r距球心r?20cm处是在两球面之间。该处电势为
5
V?q14??0r?q24??0R2?14??0(q1q2?)?900V rR2 r?50cm处是在大球面之外。该处电势为 V?
q1?q2?450V 4??0r 6