2012届高三第一学期数学周末提高班三 多面体与旋转体
一、填空题
1．异面直线a,b所成的角为40?，P是空间一定点，若过点P且与a,b所成的角都等于?的直线
有且仅有三条，则??___________；若过点P且与a,b所成的角都等于?的直线有且仅有一
条，则??___________。
2．将棱长为3的正方体的各条棱三等分，经过各分点将原正方体各顶点附近均截去一个侧棱长为
1的小正三棱锥，则剩下多面体的棱数是___________。
3．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水 面在容器中的形状可以是：①三角形，②菱形，③矩形，④正方形，⑤正六边形。
其中正确命题的序号是_____________（注：把你认为正确的序号都填上）
4．半径为R的半球内有一个内接正方体，则该正方体的体积等于___________。
5．棱长为a的正四面体的外接球的半径为___________，内切球的半径为___________。
6．周长为24cm的矩形，绕其一边旋转一周形成的圆柱的体积的最大值是___________。
7．有一个圆锥侧面展开图是半径为1，圆心角为270?的扇形，则过该圆锥顶点的截面面积的最
大值是___________。
8．一圆锥的内切球的表面积与圆锥的侧面积之比为2:3，则该圆锥母线与底面的夹角为_______。
B、C，若A和B、A和C的球面距离都是9．半径为1的球面上有三点A、离是
?2，B和C的球面距
?3，则球心到截面ABC的距离是___________。
10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面
的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2， 且该塔形的表面积 (含最底层正方体的底面面积) 超过39，则该塔形中正方体
的个数至少是__________个。
二、选择题 11．“三棱锥的三条侧棱两两垂直”是“三棱锥的顶点在底面射影是底面三角形垂心”的（ ） （A）充分非必要条件（B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件
12．有一个正四棱锥和一个正四面体，它们的棱长都是a，若使正四棱锥的一个侧面与正四面体
的一个面重合，则暴露在外部的各个面所在的不同平面有 （ ） （A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个
13．弹子跳棋共有60颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形球剁，使剩下的弹子 尽可能的少，那么剩余的弹子共有 （ ） （A）11颗 （B）4颗 （B）5颗 （B）0颗
AD旋转一周，则 14．平行四边形ABCD两邻边边长为AB?a,AD?b(a?b)，若分别绕AB、所生成两旋转体的体积之比为 （ ） （A）a:b （B）b:a （C）a3:b3 （D）b3:a3
1
三、解答题
15．四面体ABCD中，AB?3a，AC?AD?2a，且?BAC??CAD??DAB?60?。试求： （1）二面角A?CD?B的大小； （2）AC与BD所成角的大小； （3）点C到平面ABD的距离。
A
B C D
16．半径为1cm的球内切于一个圆锥，求该圆锥体积的最小值。
S O A C T B 17．有一个底面半径为2cm，高为12cm的圆柱形容器，里面最多可装多少个半径为1cm的小球？
18．地球半径为R，P地位于经度0?，北纬45?；Q地位于纬度0?，东经135?。 （1）地球自转6小时，P地旋转了多少路程？
Q两地的球面距离。 （2）求P、 Q
O1 O P 2
2012届高三第一学期数学周末提高班三 多面体与旋转体
一、填空题
1．异面直线a,b所成的角为40?，P是空间一定点，若过点P且与a,b所成的角都等于?的直线 有且仅有三条，则??70?；若过点P且与a,b所成的角都等于?的直线有且仅有一条，则
??20?或90?。
2．将棱长为3的正方体的各条棱三等分，经过各分点将原正方体各顶点附近均截去一个侧棱长为 1的小正三棱锥，则剩下多面体的棱数是 36 。
3．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水 面在容器中的形状可以是：①三角形，②菱形，③矩形，④正方形，⑤正六边形。 其中正确命题的序号是 ①②③④⑤ （注：把你认为正确的序号都填上）
4．半径为R的半球内有一个内接正方体，则该正方体的体积等于5．棱长为a的正四面体的外接球的半径为
263R。 966a，内切球的半径为R。 4126．周长为24cm的矩形，绕其一边旋转一周形成的圆柱的体积的最大值是256?cm3。
7．有一个圆锥侧面展开图是半径为1，圆心角为270?的扇形，则过该圆锥顶点的截面面积的最 大值是。
8．一圆锥的内切球的表面积与圆锥的侧面积之比为2:3，则该圆锥母线与底面的夹角为arccos或123 3?3。
B、C，若A和B、A和C的球面距离都是9．半径为1的球面上有三点A、离是
?2，B和C的球面距
?3，则球心到截面ABC的距离是
21。 710．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面
的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2， 且该塔形的表面积 (含最底层正方体的底面面积) 超过39，则该塔形中正方体 的个数至少是 6 个。
二、选择题 11．“三棱锥的三条侧棱两两垂直”是“三棱锥的顶点在底面射影是底面三角形垂心”的（ A ） （A）充分非必要条件（B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件
12．有一个正四棱锥和一个正四面体，它们的棱长都是a，若使正四棱锥的一个侧面与正四面体
的一个面重合，则暴露在外部的各个面所在的不同平面有 （ A ） （A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个
13．弹子跳棋共有60颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形球剁，使剩下的弹子 尽可能的少，那么剩余的弹子共有 （ B ） （A）11颗 （B）4颗 （B）5颗 （B）0颗
AD旋转一周，则 14．平行四边形ABCD两邻边边长为AB?a,AD?b(a?b)，若分别绕AB、所生成两旋转体的体积之比为 （ B ） （A）a:b （B）b:a （C）a3:b3 （D）b3:a3
3
三、解答题
15．四面体ABCD中，AB?3a，AC?AD?2a，且?BAC??CAD??DAB?60?。试求：
A （1）二面角A?CD?B的大小； （2）AC与BD所成角的大小； （3）点C到平面ABD的距离。
15．（1）取CD中点M，则AM?CD,BM?CD，
∴?AMB为二面角A?CD?B的平面角。
易知AM?3a，?ABC中，由余弦定理，BC?7a?BM?6a， 又AB?3a，∴AM2?BM2?AB2??AMB?90?。
AD中点E、F，则EF//BD,FM//AC，?EFM为AC与BD所成的角。EF? （2）分别取AB、E B M C F D
7a， 2FM?a,EM?3777a，cos?EFM?，∴?EFM?arccos，即AC与BD所成角为arccos。 2141414 （3）设点C到平面ABD的距离为d。由于VA?BCD?VC?ABD，用等积法可求得d?
26a。 316．半径为1cm的球内切于一个圆锥，求该圆锥体积的最小值。
16．如图，设该圆锥底面半径为r，高为h，并设球心切母线SB于T。则Rt?SOT∽Rt?SBC。 OTSO1?∴，即?BCSBr S 12?h2h，∴V??rh??。 ?r?2233h?2h?2h?rh?12h2(t?2)24令h?2?t(t?0)，则??t??4?8，当且仅当t?2时，等号成立。
h?2tt A 8?cm3，此时h?4cm,r?2cm。 故Vmin?3
O C T B 17．有一个底面半径为2cm，高为12cm的圆柱形容器，里面最多可装多少个半径为1cm的小球？
17．每一层可放两个小球，每相邻两层的四个小球的球心组成一个棱长为2cm的正四面体。
且每层两个球心的连线平行于底面，相邻两层的两条球心连线互相垂直，其距离为2cm。 设共可装n层，依题意，
1?(n?1)?2?1?12，n?1?52?7.071，∵n?N*，∴n?8。 故最多可装半径为1cm的小球16个。
18．地球半径为R，P地位于经度0?，北纬45?；Q地位于纬度0?，东经135?。 （1）地球自转6小时，P地旋转了多少路程？
Q两地的球面距离。 （2）求P、Q两地的位置如图所示。 18．设纬度0?的大圆圆心为O，北纬45?的小圆圆心为O1。P、 O1 P 2（1）易知O1P?R?cos45??R，地球自转6小时，
2 Q O R ?2?2，则它所经过的路程为R???R。 2224Q可看作异面直线O1P与OQ上的两点，OO1是异面直线O1P与OQ的公垂线段。 （2）P、P地在北纬45?的小圆圆周上旋转的圆心角为
过P作大圆的垂线，垂足为R，则
121222R?R?R2?2?R?R??3R2， 22222?2?RQ两地的球面距离为∴PQ?3R，则?POQ?，故求P、。
33PQ2?PR2?QR2?PR2?OR2?OQ2?2OR?OQ?cos135?? 4