2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
2?x?0的解集是 （-4,2） 。 x?42?x解析：考查分式不等式的解法?0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4 x?41.不等式 2.若复数z?1?2i（i为虚数单位），则z?z?z? 6-2i 。 解析：考查复数基本运算z?z?z?(1?2i)(1?2i)?1?2i?6?2i 3. 动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x?2?0的距离相等，则P的轨迹方程为 y2?8x。 解析：考查抛物线定义及标准方程 定义知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2?8x cos4.行列式 ?3sincos?6sin?3?6的值是 0 。 cos解析：考查行列式运算法则 ?3sincos?6sin22?3?6=cosππππ?cos?sinsin?cos?0 363625. 圆C:x?y?2x?4y?4?0的圆心到直线l:3x?4y?4?0的距离d? 3 。 解析：考查点到直线距离公式 圆心（1,2）到直线3x?4y?4?0距离为 3?1?4?2?45?3 6. 随机变量?的概率分布率由下图给出： 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科） 则随机变量?的均值是 8.2 解析：考查期望定义式E?=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2 7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则 空白的执行框内应填入 S ?S+a 。 8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=loga(x?3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是 （0，-2） 解析：f(x)=loga(x?3)的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2） 9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽 得为黑桃”，则概率P（A?B）== 7（结果用最简分数表示） 261137 ??525226n??123???n?2n?1??234???n?1n1?? 10．在n行n列矩阵?345???n12?中， ??????????????????????????n12???n?3n?2n?1???解析：考查互斥事件概率公式 P（A?B）= 记位于第i行第j列的数为aij(i,j?1,2???,n)。当n?9时，a11?a22?a33?????a99? 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科） 45 。 解析：a11?a22?a33?????a99?1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 11. 将直线l2:nx?y?n?0、l3:x?ny?n?0（n?N，n?2）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为Sn，则limSn? 1 。 n??*解析：B(nn,) 所以BO⊥AC， n?1n?11nn1 所以limSn? Sn=?2?2?n??22n?1n?1 12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去?AOB,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 82 3解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥， 高为 261132682??所以该四面体的体积为??16? 32233313。如图所示，直线x=2与双曲线?:?24?y2?1的渐近线交于E1,E2两点，记 ???????????????????????????OE1?e1,OE2?e2，任取双曲线?上的点P，若OP?ae1,?be2(a、b?R)，则a、b满足 的一个等式是 4ab=1 解析：E1(2,1),E2(2,?1) ???????????OP?ae1?be2=(2a?2b,a?b)，点P在双曲线上 (2a?2b)2??(a?b)2?1，化简得4ab?1 414.以集合U=?a，b，c，d?的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a、b都要选出； （2）对选出的任意两个子集A和B，必有A?B或B?A，那么共有 36 种不同的选法。 解析：列举法 共有36种 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科） 15．“x?2k???4?k?Z?”是“tanx?1”成立的 [答]（ A ） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件. 解析：tan(2k???4)?tan?4?1，所以充分； 但反之不成立，如tan5??1，所以不必要 4可以是 【答】（C） 16.直线l的参数方程是??x=1+2t(t?R)，则l的方向向量是d?y=2-t(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 解析：直线l的一般方程是x?2y?5?0，k??1，所以C正确 211x17.若x0是方程()?x3的解，则x0属于区间 【答】（C） 2(A)( 212111,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,) 323323解析：结合图形??????,?????，∴x0属于区间(18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ?1??2?13?1??1??3??2?1312?1??2?1311,) 32111,,，则此人能 【答】13115（D） （A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形 解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知 111a?b?c,?a:b:c?13:11:5 1311552?112?132?0，所以角A为钝角 由余弦定理得cosA?2?5?11三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分12分） 已知0?x??2，化简： x?lg(cosx?tanx?1?2sin2)?lg[2cos(x?)]?lg(1?sin2x). 24=0 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科） 20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。 已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N* （1）证明：?an?1?是等比数列； （2）求数列?Sn?的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。 （2）Sn=n?75()n?1?90 n=15取得最小值 5解析：(1) 当n?1时，a1??14；当n≥2时，an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，所以an?1?(an?1?1)， 656又a1?1??15≠0，所以数列{an?1}是等比数列； ?5?(2) 由(1)知：an?1??15????6??5?Sn?75????6?n?1n?1?5?，得an?1?15????6?n?1，从而 ?n?90(n?N*)； n?1?5?解不等式Sn （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l?1.2?2r(0 S??3?(r?0.4)2?0.48?， 所以当r?0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； ?????(2) 当r?0.3时，l?0.6，建立空间直角坐标系，可得A1B3?(?0.3,0.3,0.6)，??????A3B5?(?0.3,?0.3,0.6)， 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）