内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第31练 几何证明选讲、不等式选讲
[明晰考情] 1.命题角度：三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理；圆内接四边形的性质与判定；含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用.2.题目难度：中档难度.
考点一 三角形相似的判定及应用
方法技巧 证明三角形相似可以结合圆的某些性质、定理，要注意等量的代换.
1.(2016·江苏)如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD.
证明 在△ADB和△ABC中，
因为∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠A为公共角， 所以△ADB∽△ABC， 所以∠ABD＝∠C.
在Rt△BDC中，因为E是斜边BC的中点， 所以ED＝EC，从而∠EDC＝∠C， 所以∠EDC＝∠ABD.
2.(2017·江苏)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足. (1)求证：∠PAC＝∠CAB； (2)求证：AC＝AP·AB.
2
证明 (1)因为PC切半圆O于点C， 所以∠PCA＝∠CBA. 因为AB为半圆O的直径， 所以∠ACB＝90°.
1
因为AP⊥PC，所以∠APC＝90°， 因此∠PAC＝∠CAB.
(2)由(1)知，△APC∽△ACB， 故＝， 即AC＝AP·AB.
3.(2018·苏州模拟)如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任2
APACACAB意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.求证：PF2
＝PD·PE.
证明 连结PB，PC，因为∠PCF，∠PBD分别为圆弧BP上的圆周角和弦切角，
所以∠PCF＝∠PBD. 因为PD⊥BD，PF⊥FC， 所以△PDB∽△PFC， 故PD＝PBPFPC. 同理，∠PBF＝∠PCE，又PE⊥EC，PF⊥FB， 所以△PFB∽△PEC，故PF＝PBPEPC，
所以PDPF＝PFPE，即PF2
＝PD·PE.
4.如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE·CD＝BD·CE.
证明 因为AB是⊙O的切线， 所以∠ABD＝∠AEB.
又因为∠BAD＝∠EAB，所以△BAD∽△EAB， 所以BD＝ABBEAE.
2
同理，＝.
因为AB，AC是⊙O的切线， 所以AB＝AC. 因此＝CDACCEAEBDCD，
BECE即BE·CD＝BD·CE.
考点二 圆有关定理、性质的应用
方法技巧 和圆有关的计算证明问题，要灵活运用圆和三角形的性质，以目标为导向，根据需要找角、线段长度的关系，适时进行等量代换.
5.(2018·江苏)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆
O的切线，切点为C.若PC＝23，求BC的长.
证明 如图，连结OC.
因为PC与圆O相切， 所以OC⊥PC.
又因为PC＝23，OC＝2， 所以OP＝PC＋OC＝4.
又因为OB＝2，从而B为Rt△OCP斜边的中点， 所以BC＝2.
6.(2018·南京模拟)如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点
2
2
B，DA＝DC，求证：CA＝3CB.
证明 如图，连结OD，因为DA＝DC，
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所以∠DAO＝∠C. 在圆O中，AO＝DO， 所以∠DAO＝∠ADO， 所以∠DOC＝2∠DAO＝2∠C. 因为CD为圆O的切线， 所以∠ODC＝90°， 从而∠DOC＋∠C＝90°， 即2∠C＋∠C＝90°， 故∠C＝30°， 所以OC＝2OD＝2OB， 所以CB＝OB，所以CA＝3CB.
7.(2018·苏州模拟)如图，圆O的直径AB＝4，C为圆周上一点，BC＝2，过C作圆O的切线
l，过点A作l的垂线AD，AD分别与直线l和圆O交于点D，E，求线段AE的长.
解 在Rt△ABC中，因为AB＝4，BC＝2， 所以∠ABC＝60°. 因为l为过点C的切线， 所以∠DCA＝∠ABC＝60°. 因为AD⊥DC，所以∠DAC＝30°. 连结OE，在△AOE中，
因为∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA， 1
所以AE＝AO＝AB＝2.
2
8.如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.
(1)证明：∠CBD＝∠DBA；
(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径. (1)证明 因为DE为⊙O的直径， 所以∠BED＋∠EDB＝90°，
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又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°， 从而∠CBD＝∠BED.
又AB切⊙O于点B，所以∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA，
(2)解 由(1)知BD平分∠CBA，则＝又BC＝2，从而AB＝32.
所以AC＝AB－BC＝4，所以AD＝3.
22BAAD＝3， BCCDAB2
由切割线定理得AB＝AD·AE，即AE＝＝6，
AD2
故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3. 考点三 不等式的证明
方法技巧 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明.
m3n322
9.已知m，n是正数，证明：＋≥m＋n.
nmm3n322m3－n3n3－m3?m3－n3??m－n??m－n?2?m2＋mn＋n2?
证明 ∵＋－m－n＝＋＝＝，
nmnmnmmn又m，n均为正数，
m3n322?m－n?2?m2＋mn＋n2?
∴＋－m－n＝≥0， nmmnm3n322∴＋≥m＋n. nm111
10.设a，b，c均为正数，abc＝1.求证：＋＋≥a＋b＋c.
abc证明 由a，b，c为正数，根据算术—几何平均不等式， 112112112得＋≥，＋≥，＋≥ .
ababbcbcacac?111?2＋2＋2， 将此三式相加，得2?＋＋?≥?abc?
bcacabbcac111111即＋＋≥＋＋.
abcab由abc＝1，则有abc＝1.
111abcabcabc所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c，
abcabbcac当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立.
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