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2011年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试
数 学
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知tan??cot??0，那么角?是 （ ）
（A）第一或第二象限角 （B）第三或第四象限角
（C）第一或第三象限角
（D）第二或第四象限角
（2） 设ABCD?A1BC11D1是棱长为1的正方体，则四面体ACB1D1的体积是（ ）
（A）
1 2 （B）
1 3 （C）
1 4222 （D）
1 6（3） 在△ABC中，角A、B、C的分别为a、b、c，若a+c-b?3ac，则B＝（ ）
（A）
? 6 （B）
? 3 （C）
?5??2?或 （D）或 63633（4） 若复数z的虚部不为零，且z?z?1?0，则（ ）
（A）?z??1 （B）?z??1
（C）1??z??2 （D）?z?≥2 （5）若a?log23，b?log46，c?log69，则 （ ）
（A）a?b?c
（B）a?b?c
（C）b?c?a
（D）c?b?a
（6）在四面体ABCD中，AB?2，其余各棱长均为1，则二面角A?CD?B的余弦值为（ ）
（A）?1 3
（B）0
（C）
1 3 （D）
1 2（7）设数列?an?的前n项和Sn?1?1，则an? （ ） 2n?11211（A） （B） （C） （D）
2n?12n?1(2n?1)(2n?1)(2n?1)(2n?1)
（8）圆的直角坐标方程为(x?3)2?(y?1)2?4，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，
该圆的方程为 （ ） （A）??2 （C）??4cos(??（9）函数y?
（B）??4cos(???3)(??(??5?6,6])
?6)(??(??2?3,3]) （D）??4cos?(??(???,])
221?1(?x??1)的反函数为 （ ） x?1（A）y?（C）y?1?1(?x?1) x?11?1(?x??1) x?1
（B）y?（D）y?1?1(?x??1) x?11?1(?x?1) x?1x2y2（10）设F1,F2为双曲线C:2?2?1的两个焦点，P为C上一点，若△F则C1F2P是等腰直角三角形，
ab的离心率为 （ ） （A）1?5 2 （B）
3?5 （C）1?2 2（D）1?2 2?x2?,??????x?1,（11）若函数f(x)?? 在x?1处可导，则a?b? （ ）
?ax?b,?x?1（A）3
（B）2
（C）1
（D）0
????????????????????????????????????BE=EF， CF=FD， （12）点D、E、F是△ABC内三点，满足AD=DE， 设AF=?AB+? 则AC， (?,??)? （ ）
42144124（A）(?,?) （B）(?,?) （C）(?,?) （D）(?,?)
77777777二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.
（13）若关于x的方程x3?x2?ax?0有重根，则a?____________________． （14）已知两条直线m,n，两个平面?,?，给出四个命题： ①若m∥n,m??，则n?? ③若m∥?,m??，则???
②若?∥?,m??,n??，则m∥n ④若???,m∥?，则m??
其中正确命题的序号是____________________．
（15）设等比数列?an?的各项都为正数，前n项和为Sn．若S6?7S2，则其公比为____________________． （16）在空间直角坐标系O?xyz中，经过点P(2,1,1)且与直线?____________________．
2（17）若多项式p(x)满足p(1)?1,?p(2)?3??，则p(x)被x?3x?2除所得的余式为_______________．
?x?3y?z?1?0,垂直的平面方程为
?3x?2y?2z?1?0（18）设有4张不同的卡片，若有放回地抽取4次，每次随机抽取一张，则恰好有两张卡片未被抽到的概
率为____________________．
三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （19）设函数f(x)?2x?3?x?2．
（Ⅰ）把f(x)写成分段函数，并求f(x)的最小值； （Ⅱ）解不等式f(x)?5．
（20）设△ABC为锐角三角形．证明
（Ⅰ）sinA?sinB?1?cosC；（Ⅱ）2?sinA?sinB?sinC≤
33 2x2（21）设抛物线C:y?与直线l:y?kx?1交于A、B两点，P为抛物线在这两点的切线的交点．
4（Ⅰ）当k?1时，求点P的坐标； （Ⅱ）当k变化时，求点P的轨迹．
（22）数列?an?的前n项和为Sn，满足a1?1,?an?1?Sn?n． （1）写出｛an｝的前三项
（2）设bn=Sn+n+1，证明｛bn｝是等比数列 （3）求｛an｝的通项公式
2011年港澳台联考数学真题答案
一、选择题：1—5：DBACD 6—10：ADCDC 11—12：AB 二、填空题：13．0或三、解答题
19．解：（Ⅰ）当x??2时，f(x)?3?2x?(x?2)?1?3x；
121 14．①③ 15．2 16．8x?5y?7z?28?0 17．2x?1 18． 464当?2?x?3时，f(x)?3?2x?(x?2)?5?x； 2当x?3时，f(x)?2x?3?x?2?3x?1； 2?1?3x7?所以f(x)??5?x，故f(x)的最小值为．
2?3x?1?（Ⅱ）当x??2时，f(x)?5?1?3x?5?x??4，这与x??2矛盾； 3当?2?x?33时，f(x)?5?5?x?5?x?0，此时解为0?x?； 22当x?33时，f(x)?5?3x?1?5?x?2，此时解为?x?2． 22综上所述，f(x)?5的解为0?x?2．
20．解：（Ⅰ）1?cosC?1?cos(A?B)?1?sinAsinB?cosAcosB，
1?cosC?sinA?sinB?(1?sinA)(1?sinB)?cosAcosB，
因为A，B都是锐角，所以cosA，cosB均大于0，所以1?cosC?sinA?sinB?0， 所以sinA?sinB?1?cosC．
（Ⅱ）因为sinA?sinB?1?cosC，所以sinA?sinB?sinC?1?cosC?sinC?2． 为证明sinA?sinB?sinC??33，不妨设C?，
32由于sinA?sinB?2sinA?BA?BCCcos?2cos，所以sinA?sinB?sinC?sinC?2cos， 2222sinC?2cosC???C?=sin[?(C?)]?2cos[?(?)] 233626=3?C?1?C?[cos(C?)]?2cos(?)]?[sin(C?)]?2sin(?)] 23262326注意到=cos(C??3)]?2cos(C??C??)?3，sin(C?)]?2sin(?)?0， 26326因此sinC?2cosC3333?，sinA?sinB?sinC?． 22221．解：设l与抛物线的两交点坐标分别为A(xA,yA)，B(xB,yB)，且xA?xB．
x2?x?1，则xA?2?22，xB?2?22，（Ⅰ）当k?1时，直线l：y?x?1代入抛物线方程，得 4过A，B的抛物线的两条切线方程为：lA:y?yA?xAx(x?xA)，lB:y?yB?B(x?xB)，联立解得22x?2,y??1，所以P(2,?1)．
22（Ⅱ）将l与C的方程联立，解得xA?2(k?k?1)，xB?2(k?k?1)，将中两切线联立，解得
x?2k,y??1，所以点P的轨迹方程为：lP:y??1．
22．解：（Ⅰ）由a1?1，an?1?Sn?n，可得a2?2，a3?5．
（Ⅱ）由an?1?Sn?n得(Sn?1?Sn)?Sn?n，即Sn?1?n?2?2(Sn?n?1)，即（Ⅲ）由（Ⅱ）得Sn?n?1?(S1?1?1)2n?1?3?2n?1，Sn?3?2n?1?n?1．
当n?2时，an?Sn?1?n?1?3?2n?2?n?n?1?3?2n?2?1，当n?1时，an?1不适合上式．
bn?1?2，所以?bn?是bnn?1?1,所以 an??． n?2?3?2?1，n?2第3题解析：
33方法1：估值法，z?z?1，1?z?z?z?1，可以估计C正确
方法2：三次方程若只有一个实数解，则必有两个共轭复根，设三个根依次为z1，z2，z3，不妨设z3为实数，则由韦达定理， z1z2z3??1，则z1?z222?z1z2??1， z3123?0833构造函数f(x)?x?x?1，易知f(x)?x?x?1在R上单调递增，由f(?1)??1?0，f(?)?3可知f(x)?x?x?1在(?1,?)存在零点，且零点唯一，故?1?z3??121， 2z1?z2?z1z2??221?(1,2)，所以 1??z??2 z3