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第一章 计算专题考点分析
1. 数学基本功（四则混合运算）
① 加减法巧算：凑整法、见“9”写“10－1”(看整法)、基准数、配对思想
例如：725+45+655+226 2014-563-484-516-437 651-385+149 643+（257－186） 9+99+999+9999 67+66+74+72+68+70+69+75+71
② 乘除法巧算：凑整法(4×25、8×125)、看整法、乘法分配律、提取公因数、等值变形 例如：25×32×128 43×999 1003×65 467×75＋25×467 2929×22－8888
1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷…÷（2010÷2011）÷（2011÷2012） （1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11）÷（27×25×24×22）
注意：提取公因式时，如果前后没有公因数时要观察前后的数字有没有倍数关系，然后把有倍数关系的数分裂成a×b的形式，再提取公因式，这种方法叫做整数的裂项。 2. 初中基本功（解方程）
①用字母表示数：
②方程的同解原理：1.有括号先去括号； 2.移项要变号； 3.合并同类项。 ③列方程解应用题：设，列，解，答 (验算） 几个重点：1.多元一次方程（两种消元方法） 2.分数系方程（乘以最小公倍数去分母） 3.特殊情况方程（轮换式方程组）
无处不在的方程：直接运用、解应用题、几何问题、行程问题、数论问题…… 必须要熟练掌握的方程（组）：一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组… 特殊解方程技巧：设而不求＋打包思想 直接假设＋间接假设
例： 3x＋12＝5x－16 10(x＋2)＝4(2x＋7) 20－4x＝6x＋10 7x＋6＝12x－4
12(x－2)＝5x＋4 2x＋50＝25×(2＋x)
72－6x＝84－7x 168－6x＝4(30－x) 56－2(24－x)＝3x 列方程解应用题：
1. 小明的存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总钱数为19元。请问：5角硬币有___ _枚。 2. 张老师给幼儿园两个班的孩子分水果。大班每人分得2个苹果和5个桔子，小班每人分得2个苹果和3个桔子，张老师一共分出了80个苹果和158个桔子。请问：小班有___ _个孩子。
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3. 分数的计算（裂项、换元、通项归纳）
① 分数四则运算：加减法、乘除法的运算
34??17?7??2?例：? 3.91?3?6.09?6?2?1.125?1??1.5?6.049??9????????77??8??3?8?8?19992?1999?1? 19992?1999?1998?19982?1．整体约分：被除数、除数中的分母对应相等：要么带化假、要么假化带，考虑提取公因数后整体约分； 2．连锁约分：多分数连乘，将分子、分母都化成乘积形式，伺机约分。 ② 分数的计算技巧：裂项（裂差、裂和）、换元、通项归纳 例：1?1?1?1?11?22?33?44?53657911135791113151719??????1????????5?6 57612203042 612203042567290
1111111111111111（???）?(???)?（????)?(??)5791179111357911137911
【策略】1. 反常的背后必有阴谋：找规律
2. 套用常用公式：裂项、平方和、立方和、平方差 3. 用简单字母代替：换元法
4. 很多题目不是做不出来，而是看不出来：整体观察 5. 熟记一些骨灰级常考题型
注意：分数裂项：把分数拆成分母中两个因数的差，裂和是把分数拆成分母中两个因数的和。 分数换元：当题目中出现大量相同或相似的数时，考虑换元，好写也好算。 通项归纳：计算规律的终极方法。 4. 计算技巧（重要公式、常用结论）
① 两个重要数列： 求末项：首项＋(项数-1)×公差 等差数列 求项数：(末项-首项)÷公差＋1
求和：(首项＋末项)×项数÷2 （中间项×项数） 高斯配对思想
衍生公式：（1）1＋3＋5＋…＋(2n+1)＝n（理解：从1开始的连续奇数求和＝个数的平方） （2）2＋4＋6＋…＋2n＝n(n+1) （理解：从2开始的连续偶数求和＝个数×比个数大1） （3）1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n（理解：自然数上坡下坡数列求和＝山顶的平方） 例：
22
1?2?3??100???3?2?1
1?3?5???199 借来还去法 等比数列求和 乘公比错位相减法 公式法
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111111 例： 1??2?3?4?5?6
333333② 四个重要的公式：
1222222
（1）平方和公式：1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝ n(n+1)(2n+1) 6
123333322
（2）立方和公式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝(1＋2＋3＋4…＋n)＝ n(n+1)
4
（3）平方差公式： a－b＝(a＋b)(a－b) （理解：两数的平方差＝两数和×两数差） （4）完全平方公式：(a±b)＝a＋b±2ab （理解：首平方尾平方，2倍乘积看中央） 2+4+6+?+100?－?1+3+5+?+99?? 例：
222222222
2
2
2
2
1?2?3???100??
③ 循环小数与分数的互化：（1）纯循环小数： 0.147＝
??
147
999
（2）混循环小数： 0.147＝
147-1
990
理解：分母：9的个数＝循环节位数 0的个数＝不循环小数位数 分子：从小数点后开始，到第一个循环节结束减去不循环部分
【策略】分数小数灵活转化：怎么容易怎么来，一般加减法用小数，乘除法用分数。
④ 重复数分拆：abcabcabc＝abc×1001001（理解：1的个数看重复了几次；0的个数比循环节少1） ⑤ 常用数的拆分：1001＝7×11×13 111＝3×37 12345679×9＝111111111 1111＝1234321 121
＝0.142857 ＝0.285714 ＝0.428571 ……
7775. 定义新运算、比较与估算：
定义新运算：照猫画虎，or看透本质找规律。难点就是寻找两数之间的运算规律。 例：我们规定：△n＝n×(n＋1)，比如：△1＝1×2，△2＝2×3，△3＝3×4。请问：
⑴要使等式
?
?
?
?
?
?
2
111□成立，那么方框内应填入多少？ ??????1?2?99?100⑵计算：△1＋△2＋△3＋…＋△100。
比较与估算：化小数，通分法，比倒数，设标准，糖水法，放缩法等等。 例：已知A?11111111，B?， ??????????1?23?45?61999?20001000100110021999比较A和B的大小，并计算出它们的差。
计算是数学基本功，基本功一定要扎实，各重点中学都很看重，为必考考点。计算常考题型有两种：区重点：分数小数四则混合运算——乘法分配律逆用。市重点：抵消思想—裂项，整体约分与连锁约分等。
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第二章 计数专题考点分析
1. 枚举归纳（分类枚举、数形枚举）
一般用于计数比较少的（10个以内）情况，但是列举要有顺序，不能想一个列一个，容易遗漏。
例：用两个1，一个2，一个3可以组成多少个不同的四位数？ 2. 加乘原理（分类相加、分步相乘）
① 加法原理与递推法：加法分类，类类独立。区分方法：或者…，或者…
例：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？ ② 乘法原理与优先排序法、排除法：乘法分步，步步相关。区分方法：先…再… 例：用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数？ 3. 排列组合（有序排列、无序组合）
① 排列：排列的表示方法及基础解题题型。
捆绑法：用于解决“必须排在一起”的问题，先捆相邻，再排整体。
例：动物园有5只金丝猴和3只大象，每只都要单独表演一个节目，问：如果3只大象的节目要排
在一起，有多少种不同的排法？
插空法：用于解决“必须分隔开”、“不能相邻”的问题，先排别人，然后插空
例：动物园有5只金丝猴和3只大象，每只都要单独表演一个节目，问：如果每两个大象节目间至
少安排一个金丝猴节目有多少种不同的排法？
定序法：用于队列中有人位置固定的问题，先排列所有人，再把固定位置的人的顺序除去
例：有8个豆苗宝宝排队合影，甲站在乙的左边，且乙站在丙的左边的不同排法有多少种？ 排除法：用于从正在考虑过于复杂的问题，先排列所有的可能性，再把不可能的情况减掉 例：还是这8个豆苗宝宝排队合影，甲不站在左端，乙不站在右端的不同排法有多少种？ ② 组合：组合的表示方法、组合的特殊公式及基础解题题型 插板法：专门解决无差异的物体放在不同位置的问题
例：将7个篮球分给3个同学，若每个同学至少得到1个篮球，有多少种分法？ 将7个篮球分给3个同学，若允许有的同学得不到篮球，有多少种分法？ 将13个篮球分给3个同学，若每个同学至少得3个篮球，有多少种不同的分法?
注意：组合的插板法只能适用于“每人至少分一个的情况”，如果是分多或者不分，则要转化条件
成每人分一个的情况才可以。
4. 容斥原理（韦恩图及意义）
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① 容斥原理 运算原理：不考虑重叠，先计算结果，之后减去重叠部分的计数方式。 韦恩图： 运用代数思想，标注条件 对号入座
例：某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，3人既会英语又会俄语，2人既会俄
语又会日语，2人既会英语又会日语，1人三种语言全会。只会1种外语的人比1种外语也不会的人多 个。
② 几何题目中的应用： 找到中间悬空图形是由谁跟谁交叉得到的 依据①中的成果列容斥算式
例：在长方形ABCD中，AD＝15cm，AB＝8cm，四边形OEFG的面积是9cm， 求阴影总面积。
5. 概率与统计（古典概型、概率可乘性） 概率的两个重要知识点：
① 古典概型：A的概率＝A发生的情况数÷情况总数
② 概率可乘性：相互独立事件同时发生的概率＝各个事件概率的乘积
例：学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，
黄球2个，绿球10个，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸一个球，奖品的情况标准在球上（红8元，黄5元，绿1元，白0元）。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率是多少？
6. 计数方法综合（标数法、递推法、对应法、整体法）
① 标数法：用于最短路线问题。
例：如图，要从A去B，C不能通过，最短线路有______条。 ② 递推法：枚举，找数列规律，从最简单的情况下思考递变规律 例：在平面上画8个圆，最多可以把平面分成_______部分。
③ 对应法：通过一一对应关系，把复杂计数转化为简单计数的方法；结合抵消思想解决差值问题。 例：从1985到4891的整数中，十位数字与个位数字相同的数共有多少个？ ④ 整体法：找到共同特征，看成一个整体，同样的道理，把复杂的情况简单化。
计数比较抽象，考查条理性(分类、分步)，对小学生来说杀伤力比较强！分类思想，枚举观察的解题思路为考查重点。一道题如果仅仅是因为数大而显得难，不用考虑，赶紧找规律，利用分类瓦解难题，利用特例或简单题目找解题方法。
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