直线与缓和曲线平行线交点坐标的严密解算及应用
缓和曲线作为连接直线与圆曲线或圆曲线与圆曲线的一种过渡曲线，被广泛应用于线路工程如铁路、公路、水渠、城市立交桥及高架桥梁的建设中。这些线路的边线及护栏曲线都是线路中线的平行线，求解建(构)筑物穿过道路曲线时交点的坐标就要涉及直线与缓和曲线平行线交点坐标的解算问题；新建线路如铁路专用线等，在地面地形比较平缓时，其占地边线往往也是线路中线的平行线，因而在涉及有关拨地定桩、建(构)筑物验放线时，也时常要遇到直线与缓和曲线或其平行线交点的解算问题；城市绕城公路与城市规划道路相交时，其红线交点的计算也涉及到直线与缓和曲线平行线交点的解算问题；工程实践中，由于施工条件及工程的需要，有时必须直接测放缓和曲线平行线，方向坐标法作为其放样方法的一个主要内容，其原理与实质就是解求直线与缓和曲线平行线交点的坐标，因此，研究直线与缓和曲线平行线交点的解算是具有重要的意义，系线路平行线理论的重要内容之一。
基于直线与缓和曲线交点解算原理和缓和曲线平行线曲线长计算公式，提出了一种解求直线与缓和曲线平行线交点坐标的简捷方法，其原因是将缓和曲线平行线作为一个单独的缓和曲线，通过确定其缓和曲线元素(R平，l平)，用直线与缓和曲线交点解算方法完成直线与缓和曲线平行线交点坐标的解算工作。这种方法原理简单，容易编程与计算，能在一定程度上满足实际工作的需要。但随着对缓和曲线平行线理论研究的深入，人们已对缓和曲线平行线的性质问题有一个全面的、清晰的认识：缓和曲线平行线不再是缓和曲线即螺旋线，这样上述解求直线与缓和曲线平行线交点的方法就显得不够严密了，因而只能算作是一个近似的解算方法。针对有些工程对交点坐标有其精确、严格的要求，本文研究直线与缓和曲线平行线交点坐标的严密解算问题，其前提是首先建立缓和曲线平行线以其自身弧长为变量的参数方程，而后给出坐标解算的原理和方法，最后通过一实例验证其正确性和实用性。
2 缓和曲线平行线以其自身弧长为变量的参数方程 2.1 缓和曲线平行线以其中线弧长为变量的参数方程
缓和曲线上任意点边桩坐标的计算公式，见图1，当各左边桩支距D左或各各右边桩支距D右都相等时，就是缓和曲线平行线以其中线弧长l为变量的参数方程
（1）
图1 缓和曲线平行线与中线弧长关系
1 / 11
式中，X，Y表示中桩i在地面坐标系中的坐标；x,y表示中桩i在以ZH为坐标原点，以ZH→JD为x轴，以与x轴相垂直且方向指向曲线内侧为y轴的过渡坐标系中的坐标；“±”表示曲线左偏时取正号，右偏时取负号；“
”表示曲线左偏时取负号，右偏时取正号；αZH→JD为ZH至JD
［1］
在地面坐标系中的方位角。x,y值曲下式确定
（2）
式中，l为中桩i至缓和曲线起点ZH的弧长；R为与缓和曲线相接圆的半径；ls为缓和曲线长。顾及缓和曲线上任一点切线与过渡坐标系中x轴的夹角α，则缓和曲线平行线上的边桩坐标可由下式确定
（3）
（4）
上述(1)～(4)式即为缓和曲线平行线以中线弧长l为参数的方程，其概括模型为
（5）
(5)式中的边桩坐标包括左右边桩坐标，实质即为缓和曲线平行线的方程，为此下文一律用X平，Y平表示。(5)式的展开形式由(1)～(4)式可归纳如下
（6）
式中，P和B均为符号函数P=1，表示曲线左偏时取-1，右偏时取+1；B=1，表示缓和曲线平行线位于缓和曲线左边时取-1，位于右边时取+1。这样，当给出中线上一个弧长l，即可由(6)式计算出左偏或右偏曲线的左边或右边平行线上一个点的坐标。 2.2 缓和曲线平行线以其自身弧长为变量的参数方程
要求解直线与缓和曲线平行线交点的坐标，必须先确定缓和曲线平行线以其自身弧长为变量的参数方程，这样，当给出边线上一个弧长l平即可由参数方程求得X平，Y平。其概括模型为
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（7）
要推出上述概括模型的展开形式，人们自然会想到用推导缓和曲线方程的方法，即以积分途径求得缓和曲线平行线方程。但这种方法由于缓和曲线平行线上任一点的切线角β且难以推出其方程所需的高阶项，因此必须寻找新的方法。
由于文献3已给出了缓和曲线与其平行线的弧长公式，因此，通过弧长公式将(6)式中的变量l换成l平就可实现已知l平计算X平，Y平的目的，这显然是一种省力的寻找缓和曲线平行线以其自身弧长为变量的参数方程的简捷、实用的方法。 由文献3知
平
以l平来表
示比较复杂，这样就给推导方程带来了很大的困难。用此法所推方程既形式繁琐，又无规律可寻，
（8）
将上述公式换成以l内或l外求l的公式，结果为
可能的组合情况，可得由l平计算l的通用模型为
（9）
顾及上述表示曲线左偏、右偏以及平行线左边、右边的符号函数P=1和B=1，分析实际
(10)
这样，当给出一个边线弧长l平时，即可由(10)式求出l，进而由(6)式求出X平、Y平，(10)式和(6)式的组合就是我们寻找的以缓和曲线平行线自身弧长为变量的参数方程，即(7)式概括模型的展开形式。
3 直线与缓和曲线平行线交点坐标的解算原理和方法 3.1 直线与缓和曲线平行线交点坐标的解算原理
由于缓和曲线平行线的参数方程是l平的高次函数，因此直接解算直线与缓和曲线平行线的交点是十分困难的，本文采用交点趋近原理实现解算目的。
如图2，ZH平为缓和曲线平行线的起点，办即l平的起算点；ZH平→JD平的方位角由于缓和曲线与其平行线的切线互相平行，因此它的值即为αZH→JD；A为直线上任一点，其在地面坐标系中的坐标为A(XA，YA)；直线方位角为αZ，现求直线与缓和曲线平行线的交点P(XP，YP)。
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图2 直线与缓和曲线平行线交点解算原理
要求直线与缓和曲线平行线的交点P，只须求得P点到ZH平的弧长l平即可由缓和曲线平行线的参数方程方便求得P(XP，YP)，因此，问题的关键是怎样求得l平。本文介绍求解l平的原理是：将ZH平到已知直线的垂距绝对值d1作为l平的第一次近似值，即可得缓和曲线平行线上的一点P1；再将P1到已知直线的垂距绝对值d2与d1之和作为l平的第二次近似值，即可得到缓和曲线平行线上第二点P2??，如此循环，直至所得缓和曲线上最后一点到已知直线的垂距绝对值等
于0，则各垂距之和即为所求ZH平到P点的弧长l平。
3.2 直线与缓和曲线平行线交点坐标的解算方法
实际应用中解算交点的已知数据为：直线上一点A(XA，YA)及方位αZ；缓和曲线起点ZH(XZH，YZH)及其切线方位α
ZH→JD
；缓和曲线长ls和与缓和曲线相接圆的半径R以及确定曲线偏向的信息
(P=1)和平行线的边向信息(B=1)，这样，根据上述解算原理就能唯一确定直线与缓和曲线平行线交点P的坐标。下面简述其解算方法，为方便叙述，在涉及缓和曲线平行线方程时，均以(7)式代表，其具体形式由(10)式和(6)式组成。
首先，令l平=0，由(7)式即可算得ZH平(XZH平，YZH平)；由下列点到直线的垂距公式即可算得ZH平到已知直线的垂距d1的绝对值。
(11)
以d1作为自变量l平的第一次近似值，即可由(7)式求得曲线上一点P1(XP1，YP1)；将(XP1，YP1)代替(11)式中的(XZH平，YZH平)即可算得P1到已知直线的垂距绝对值d2，以(d1+d2)作为l平的第二次近似值代入(7)式即可得到曲线上又一点P2(XP2，YP2)，当曲线上的点到已知直线的垂距dn<0.001m，则(d1+d2+?+dn)即为所求的ZH平到P的弧长l平，将l平代入(7)式即可求得直线与缓和曲线平行线的交点坐标P(XP，YP)。
显然，这种方法解算过程十分直观、简捷，非常例于计算机编程，而且在求解交点的同时，又给出了曲线的弧长值，这给实际工作中确定交点的桩号带来了极大的便利，可谓一举双得。笔者完成的解算程序可实现直线与缓和曲线平行线交点坐标解算的自动化，利用它还可求得直线与缓和曲线交点的解算，因为当公式中D=0即为缓和曲线本身。
顺便指出，求解直线与带有缓和曲线圆曲线的平行线的交点坐标之原理与上述求解直线与缓和曲线平行线交点的原理完全一样，实际应用中，只须依文献4将(7)式换成圆曲线的参数方程即可。 4 实例计算
实例取自文献2，如图3，J1，J2，?，J10所包围的图形为某粮食储运仓库的征地范围，其中粗线所包围的曲线图形为该仓库欠路专用线的占地范围，其东西两边线距线路中线分别为8m和10m。这些征地拨地定桩工作已采用解析坐标法先期完成。现另一建设单位欲征用该街坊所剩
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土地及所临东西向道路之一半土地。根据城市拨地需要，在推出道路红线交点A，B的坐标后，还需计算出道路红线及中线与铁路专用线占地边线的交点C，D和E，F的坐标，这实质是解求直线与缓和曲线平行线交点和直线与带有缓和曲线圆曲线的平行线交点的坐标。已知数据为各道路的中交点，例如JD2(45992.000，76080.425)和东西向道路中线方位α=270°；根据道路中交点和方位及道路宽度推求的红线交点A(46012.000，76080.425)；铁路专用线缓和曲线的要素：R=300m，右偏角：38°15＇08＂，ls=30m;ZH(46032.511,75873.810)及ZH→JD的方位角α
ZH→JD
=186°57＇10＂。
图3 某街坊征地示意
计算C、D的坐标用根据上述直线与缓和曲线平行线交点坐标解算方法所编制的程序完成。先看C点解算情况。启动程序后，根据计算机提示“LRP=?”输入曲线的偏向“R”，“LRB=?”输入平行线的边向“L”；然后输入XZH，YZH，α及D点到J4的曲线长lD=21.908m
同理，可得E(45992.000，75875.781)，E点到J7的曲线长lE=40.003m;F(45992.000,75857.382),F点到J4的曲线长lF=42.243m。
为直观比较近似解法与本文严密解法的差异，表1列出了C、D、E、F四点的近似坐标、严密坐标及其差值。
表1 近似、严密方法所求坐标及差值
m
点号 C(外侧) D(内侧) E(外侧) F(内侧)
从表1可以看出，两种方法差异在厘米级以内，且根据平行线在中线的内侧或外侧呈系统性。 表1中X值由于直线方位为270°，因而近似与严密坐标无差异。两种方法的差异与缓和曲线要素R，ls和平行线间距D，以及直线与缓和曲线相对关系都有密切的关系，究竟什么情况下允许将缓和曲线平行线近似看作缓和曲线来求解交点，这是个需要进一步研究的问题。 5 结束语
(1)本文给出了缓和曲线平行线以其中线弧长为参数的方程，利用它可以实现以中线桩号测
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近似X 46012.000 46012.000 45992.000 45992.000 严密X 46012.000 46012.000 45992.000 45992.000 X差值 0 0 0 0 近似Y 75879.231 75861.029 75875.797 75857.358 严密Y 75879.227 75861.035 75875.781 75857.382 Y差值 +0.004 -0.006 +0.016 -0.024 ZH→JD
，R，LS，D值，计算得C点的坐标为C(46012.000，
75879.227)及C点到J7的曲线长lC=19.705m。同理，可得D点坐标为D(46012.000，75061.035)