提示：设
??0f(x)cosxdx?A，A??2
十一.设直线y?ax?b与直线x?0,x?1及y?0所围成的梯形面积为A，求a,b，使这块面积绕x轴旋转所得体积最小。(a?0,b?0)
1a2a2提示：V???(ax?b)dx??(?ab?b),A??(ax?b)dx??b，
003212a?0,b?A时，体积最小
2#十二.求抛物线y??x2?1在(0,1)内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线y??x?1所
围图形的面积最小。
x2?1提示：切线Y?(?x?1)??2x(X?x),A(,0),B(0,x2?1)，
2x21(x2?1)213s???(?x2?1)dx?s?(x)?0?x?，
022x3所求切线为y??十三.求通过直线
234x? 33xz?1与平面x?y?z?15的交点，且与平面 ?y?2?23x?4y?4z?7 2x?3y?4z?5?0垂直相交的直线方程。 ??2?34xdx十四.证明3x?1???0在区间(0,1)内有唯一的实根。
01?x2xdx提示：令F(x)?3x?1???F(0)?F(1)?0，再证唯一性。
01?x2本题不作要求 十五.设f(x)可导，且f(0)?0,F(x)??x0tn?1f(xn?tn)dt，证：
limF(x)1?f?(0)
x?0x2n2nxn?10提示：F(x)??t101xnf(x?t)dt???nf(u)du??f(u)du
nxn0nnxn?tn?u十六.设x?0,f(x)满足
a?x2(1?x)0f(x)dx?x,求f(2)。提示：对?x2(1?x)0f(x)dx?x求导,
1a232十七.证：?xf(x)dx??xf(x)dx,f(x)连续，a?0，并求?2xsin(x)dx。
002032? 11
2?ax3f(x2)dx?1a222x?t1a202?0xf(x)dx?2?0tf(t)dt所求值为1
2十八.求f(x)??x0(2?t)e?tdt的最大、小值。最小值为1,最大值为1?e?2
十九.已知f(0)?1,f(2)?3,f?(2)?5,求
?10xf??(2x)dx。?2
二十.已知
???sinx???sin2x0xdx?2,求?0x2dx。??2 提示：用分部积分，先将1x2凑入微分 二十一.设f(x)??x2?t211edt,求?0xf(x)dx。同41题
二十二.f(x)??xlnt1?tdt,x?0,求f(x)?f(111x)。?2(lnx)2 二十三.1)设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?0,0?f?(x)?1，证：
(?1f(x)dx)2??100f3(x)dx。
提示：可利用已知条件知f(x)?1
2)设f(x)?C[a,b]，证：(?b2baf(x)dx)?(b?a)?af2(x)dx。
)?(?x2af(t)dt)?(x?a)?x提示：
设F(xaf2(t)dtx?(a,b)
?F'(x)?0#3)设f(x)?C[a,b]，且f(x)?0，证：?bb1af(x)dx??a(x)dx?(b?a)2f 提示：设F(x)??xf(t)dt?x1aaf(t)dt?(x?a)2?F'(x)
4) 设f(x)?C[a,b],且严格单调增加，证：(a?b)?bbaf(x)dx?2?axf(x)dx。
提示：设F(x)?2?xxatf(t)dt?(a?x)?af(t)dt?F'(x)
5) 设f(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?M,f(a)?0，证：
?bf(x)dx?M2a2(b?a)。提示：x?[a,b],有微分中值定理：f(x)?f(a)?f'(?)(x?a)??(a,x)?baf(x)dx??bf'(?)(x?a)dx
a?二十四. 设f(x)在[0,?]上连续，在(0,?)内可导，且
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??0f(x)cosxdx??f(x)sinxdx?0，证明：?一个??(0,?)，使得f?(?)?0。
0?证：在(0,?)内sinx?0，由
??0f(x)sinxdx?0可知，f(x)在(0,?)内不能恒正或负，
由于f(x)的连续性可知f(x)在(0,?)内必有零点。若能证明零点有两个以上，则可由罗尔定理可得证。
反证：若x0?(0,?)是f(x)的唯一零点，则当x?x0,
sin(x?x0)f(x)就恒正或负，于是??0sin(x?x0)f(x)dx?0，
而
???0sin(x?x0)f(x)dx??(sinxcosx0?cosxsinx0)f(x)dx
0?cosx??0?0sinxf(x)dx?sinx0?0cosxf(x)dx?0，矛盾，
所以f(x)在(0,?)内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。
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