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中考高分冲刺－冲刺三
函数知识的三个支点
函数是“数与代数”部分最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用。那么，怎样才算较好地掌握了函数知识呢？
从一道简单的数学题说起。
2(a?1)?3a?1题目：若a满足不等式组
最大值和最小值分别是多少？
aa?1?34 那么，代数式a?6?(a?211)?(1?) aa简解：由所给的不等式组解得?3?a?3
11222又 a?6?(a?)?(1?)?a?6a?6?(a?3)?15
aa可将y?(a?3)2?15,其中?3?a?3，看作是一段抛物线，该抛物线的对称轴为a?3且开口向上，可知原式在a??3时有最大值，21，在a?3时有最小值—15。
析评：以上解法的思考基础可分为三层：第一层，认识到这是个求函数最值的问题；第二层，求得这个函数的标准表示式为y?a?6a?6(?3?a?3),第三层，用二次函数的性质解决原来的问题。
由此可以看出：把未指明的函数总题恰当地归为函数问题。再定出其表达式，进而应用函数的性质解决问题，正是掌握与运用函数知识的三大支点。
函数知识的三个支点：
一、明意义：指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”；
二、定表达式；
三、用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。
一、明意义
21、函数“明意义”的基本体现
对函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握：
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①能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题； ②能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题；
例1 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平纸上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的函数图象大致应为（ ）
S S S S
t tO O t O O A B C D
【观察与思考】“总体感知”：大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是
3 3 4 4
减至 定值 增值
解：选A。
例2 已知：如图（1），点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图（1）的边线运动，运动路径为： D H G C E F
相应的?ABP的面积y(cm)关于运动时间t(s)的函数图象如图（2），若AB?6cm,则下列四个结论中正确的 个数有（ ）
A、 图（1）中的BC边长是8cm B、 图（2）中的M点表示第4秒时y的值为24cm
C、 图（1）中的CD长是4cm， D、 图（2）中的N点表示第12秒时y的值为18cm
22t
2y(cm2) 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@新世纪教育网
M 新世纪教育网 www.xsjjyw.com 精品资料 版权所有@新世纪教育网
A
（2）
B
H D G
C F E
（1）
A、 1个 B、2个 C、 3个 D、 4个
H 【观察与思考】若把点 P由 G C D E F
图象分别记为第Ⅰ段、
第Ⅱ段、第Ⅲ段、第Ⅳ段、第Ⅴ段，则从图（1）和图（2）的对应情况可知：
对应的
（1）由Ⅰ的两端点横坐标，知由G到C运动2秒，可得GD=4cm，即BC=8cm； （2）M点的纵坐标等于 S?ABD?1?6?8?24(cm2); 2（3）图象Ⅱ两端点横坐标为2和4，可知CD?2(cm/s)?2(s)?4(cm)；
（4）由Ⅲ的两端点横坐标为4和7，知DE=6cm，而EF=AB—CD=2cm，可知Ⅳ的右端点的横坐标为8，再由Ⅴ的
两端点横坐标为8和12，推得FH=8cm，从而
HA?(BC?DE)?FH?14?8?6(cm)
所以，N点的纵坐标等于S?HAB?解：应选D。
【说明】对函数“明意义”，就要善于从自变量与函数值的对应关系入手，从原背景、关系式、图象三者的统一来认识和解决问题。
1?6?6?18(cm)2 22、“明意义”的更高体现
对于函数意义的掌握，不仅是指对给定的函数能从恰当的角度对其进行研究，更为重要的是遇到具体问题时，能够而且善于把函数作为研究与解决的工具，即确立了这样的意识：
凡是涉及变化的量之间的对应关系的问题，就要想到用函数来研究和解决，这才是“明意义”的更高体现，才是“函数思想”深刻与强烈的表现。
例3 在五环图案内，分别填写五个数a,b,c,d,e，如图
a d b c e ，
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其中，a,b,c是三个连续
偶数(a?b?c)d,e是两个连续奇数(d?e)，且满足a?b?c?d?e,例如
请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：
【观察与思考】可以看作一个函数问题，因为：
设a,b,c表示的三个连续偶数为(2x?2),2x,(2x?2);d,e表示的两个连续奇数为
2 5 4 7 6 2y?1,2y?1(x,y均为整数）。则有(2x?2)?2x?(2x?2)?(2y?1)?(2y?1)，得y?3x，只需x和y都是整数，如此一来，满足要求的x、y有无穷多对（只需x取偶数2即可）。如x?2,y?3（这就得到题目中所举的例）；
x?4,y?6,x?6,y?9,x?8,y?12;……而使五个数均在0和20之间的,除例子之外,就
只有x?4,y?6;x?6,y?9这两种情况了. 解:
6 8 11 10 13 或
10 1412172 192 2 2
例4 如图,四边形ABCD为边长等于4的菱形,?ABC?60?,点M为边AD上一点,点N为边DC上一点,
且AM=DN.21世纪教育网
(1)当AM=DN=3时,求?BMN的面积.
（2）是否存在点M和点N，使?BMN的面积等于的位置；若不存在，请说明理由。
53？若存在，请指出点M和点N2A M DN B C 【观察与思考】问题（1）和问题（2）都涉及到?BMN的面积和AM（相应地DN）之间的对应关系，而?BMN的面积和AM的值具有函数关系，因此如果把它们之间的函数
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关系搞清楚了，问题（1）、（2）就可迎刃而解了。
解：?菱形的长为4，?ABC?60?，?菱形的高为23。 设AM的长为x,?BMN的面积为S。则
S?S菱形ABCD?S?ABN?S?BCN?S?MND
?31113 ?42??23x??23(4?x)?x?(4?x)?2222232x?3x?43 43213?3?3?3?43?3 44 ?（1）当x?3时，由S与x的函数关系式得S?（2）由S与x的函数关系得S?为33，因此不存在
3(x?2)2?33。这说明?BMN的面积最小值4点M，N使S?NMN?53?33 2——正是函数意识我们看到问题（1）、（2）的共同基础，并借助函数将问题顺利而明快地解决。
由以上诸可知：
时时刻刻都注意从函数的角度来认识研究问题中变量之间的关系，恰当地建立函数关系，并运用函数的性质
将问题解决，这样的“主动精神”和“自觉行动”正体现了“函数思想”的极好确立。
二、定关系式
要用函数，就要善于确定函数关系式，而确定函数关系式的方法，基本上有三种：
1、 用待定系数法； 2、 用直接列式法； 3、 借助等式导出法。
1、用待定系数法确定函数关系式
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