课时作业38 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )．
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M 2．(2012东北三校联考)已知a，b，c，d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( )．
A．a∥b且c∥d
B．a，b，c，d中任意两条可能都不平行 C．a∥b或c∥d
D．a，b，c，d中至多有一对直线互相平行
3．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件 4．给出命题：
(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
(3)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．
其中正确命题的个数是( )． A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．
A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β
B．若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线 C．若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β D．若α⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥α
1
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，2
则下列结论中错误的是( )．
1
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
7．(2012四川高考)下列命题正确的是( )．
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 二、填空题
8．(2012北京海淀模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为__________．
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：
①直线AM与直线C1C相交； ②直线AM与直线BN平行； ③直线AM与直线DD1异面； ④直线BN与直线MB1异面．
其中正确结论的序号为__________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
10．设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若n?α，m?β，α与β相交但不垂直，则n与m不垂直； ③若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β； ④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β. 其中真命题的序号是__________．
2
三、解答题
11．如图，在几何体P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.
(1)当AD＝2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；
(2)若PC与AD所成的角为45°，求几何体P－ABCD的体积．
12．(2012安徽屯溪一中模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝22，∠PAB＝60°.M是PD的中点．
(1)证明：PB∥平面MAC；
(2)证明：平面PAB⊥平面ABCD； (3)求四棱锥P－ABCD的体积．
3
参考答案
一、选择题
1．D 解析：∵AB?γ，M∈AB， ∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上． 同理可知，点C也在γ与β的交线上．
2．C 解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a?β且b?β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.
3．A 解析：如果四个点中有三点在同一直线上，则一定有这四个点在同一个平面上；反之则不成立．例如平行四边形的四个顶点．
4．B 解析：(1)中有可能互相垂直；(2)正确；(3)α⊥β，m?α不一定有m⊥β.而m⊥β则α⊥β一定成立，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；(4)只有两异面直线互相垂直时，才能有这样的平面．
5．C 解析：∵n∥m，m?α，n?α， ∴n∥α，同理有n∥β，故C正确．
6．D 解析：由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正确． 由EF∥BD，EF?平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确．
2
A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为，
2
1
且S△BEF＝BB1×EF＝定值，
2
故VA－BEF为定值，即C正确．
7．C 解析：若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交．选项A错；
如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，选项B不正确；
如图，平面α∩β＝b，a∥α，a∥β，过直线a作平面ε∩α＝c，过直线a作平面γ∩β＝d，∵a∥α，∴a∥c，∵a∥β，∴a∥d，∴d∥c，∵c?α，d?α，∴d∥α，又∵d?β，∴d∥b，∴a∥b，选项C正确；
若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，选项D不正确． 二、填空题
8．90° 解析：如题图所示， 由A′O⊥平面ABCD，
可得平面A′BC⊥平面ABCD，
又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，故DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.
9．③④ 解析：AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确． 10．④ 解析：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n?α，①是假命题；②中n与m可以垂直，假命题；③中n⊥β，或n?β，或n与β相交，假命题．
三、解答题
11．(1)证明：当AD＝2时，四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD.
4
又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. ∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)解：PC与AD成45°角，AD∥BC， 则∠PCB＝45°.
∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAB，PB?平面PAB. ∴BC⊥PB.
∴∠CPB＝90°－45°＝45°. ∴BC＝PB＝22.
∴几何体P－ABCD的体积为 13×(2×22)×2＝823. 12．(1)证明：连接OM.
∵M是PD中点，矩形ABCD中O为BD中点， ∴OM∥PB.
又OM?平面MAC，PB?平面MAC， ∴PB∥平面MAC.
(2)证明：由题设知PA＝2，AD＝2，PD＝22，有PA2＋AD2＝PD2
，∴AD⊥PA.
在矩形ABCD中，AD⊥AB.
又PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB. ∵AD?平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD.
(3)解：过点P作PH⊥AB于点H.
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB， ∴PH⊥平面ABCD.
在Rt△PHA中，PH＝PAsin 60°＝2×3
2
＝3，
V＝11
P－ABCD3AB×AD×PH＝3
×3×2×3＝23.
5