2017-2018学年
一、选择题（本大题满分56分）
1.函数y?log0.5x的定义域为______________.
2.已知M?yy?x,x?R，N?xx?y?2,x,y?R，则M23.在(1?)(x?1)的展开式中x项的系数为______________.
?2??22?N?
1x44.已知地球的半径为R，在北纬45东经30有一座城市A，在北纬45西经60有一座城市
0000B，则坐飞机从城市A飞到B的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计）
5.已知一随机变量?的分布列如下表，则随机变量?的方差D??______________.
? P(?) 0 4 8 1 41 41 26.在极坐标系中，点A(2,?),B(2,积等于________.
?2)，C为曲线??2cos?的对称中心，则三角形ABC面
7.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示） 8.在复数范围内，若方程2012x?6x?9?0的一个根为?，则??______________. 9.将f(x)?23sinx 的图象按n?(?a,0)(a?0)平移，所得图象对应的函数为偶函数，则cosx1a的最小值为______________.
10.已知y?f(x)是定义在R上的增函数，且y?f(x)的图象关于点(6,0)对称，若实数x,y满足不等式f(x2?6x)?f(y2?8y?36)?0，则x2?y2的取值范围是______________. 11.函数f(x)对任意x1,x2?[m,n]都有f1(x)?f2(x)?x1?x2，则称f(x)为在区间[m,n]2上的可控函数，区间[m,n]称为函数f(x)的“可控”区间，写出函数f(x)?2x?x?1的一
个“可控”区间是______________.
x2y212.椭圆2?2?1(a?0)的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A,B，当?FAB的
4a3b
周长最大时，?FAB的面积是______________.
13.用符号(x]表示小于x的最大整数，如(?]?3,(?1.2]??2，有下列：①若函数
f(x)?(x]?x,x?R，则f(x)的值域为[?1,0)；②若x?(1,4)，则方程x?(x]?53721有三个5根；③若数列?an?是等差数列，则数列?(an]?也是等差数列；④若x,y?{,3,}，则
(x]?(y]?2的概率为P?2.则下列正确的序号是______________. 914.设f(x)?cosax?bx?2cx(x?R)，a,b,c?R且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{xn}（n?N），使得{f(xn)}为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组a,b,c的值______________.
二、选择题（本大题满分20分）
15.若直线l的一个法向量n?(3,1)，则直线l的一个方向向量d和倾斜角?分别为（ ） A．d?(1,3);??arctan3 B．d?(1,?3);??arctan(?3) C．d?(1,3);????arctan3 D．d?(1,?3);????arctan3
16.在?ABC中，“cosA?cosB?cosC?0”是“?ABC为钝角三角形”的（ ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
17.定义域是一切实数的函数y?f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数?(??R)使得
*f(x??)??f(x)?0对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“?—半随函数”.有下列关于
“?—半随函数”的结论：①f(x)?0是常数函数中唯一一个“?—半随函数”；② “
21—2半随函数”至少有一个零点；③f(x)?x是一个“?—半随函数”；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 18.已知数据x1,x2,x3,,xn是上海普通职工n（n?3，n?N*）个人的年收入，设这n个
数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn?1，则这n?1个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变；
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大； C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变； D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变.
三、解答题 （本大题满分74分.）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤：
19.（本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）
0在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?1，?BAC?90，且异面直线A1B与B1C1所成
的角等于60，设AA1?a. （1）求a的值；
（2）求直线B1C1到平面A1BC的距离.
0
20.（本小题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
某海域有A,B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发出过鱼群。以A,B所在直线为
x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线C的标准方程；
（2）某日，研究人员在A,B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），
A,B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5:3，问你能否确定P处的位置（即点P的坐
标）？
21.（本小题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分） 设函数fn(x)?xn?bx?c（n?N，b,c?R）.
（1）设n?2,b?1,c??1，证明：fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点； （2）设n?2，若对任意x1,x2?[?1,1]，有f2(x1)?f2(x2)?4，求b的取值范围. 22.（本小题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） 一青蛙从点A0(x0,y0)开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是
（如图所示，A0(x0,y0)坐标以已知条件为准），Ai(xi,yi)(i?N)，Sn表示青蛙从点A0到点An所经过的路程.
2（1）若点A0(x0,y0)为抛物线y?2px（p?0）准线上一点，点A1,A2均在该抛物线上，
*12并且直线A1,A2经过该抛物线的焦点，证明S2?3p.
2（2）若点An(xn,yn)要么落在y?x所表示的曲线上，要么落在y?x所表示的曲线上，并
且A0(,),试写出limSn（不需证明）；
x???1122（3）若点An(xn,yn)要么落在y?21?8x?1所表示的曲线上，要么落在y?21?8x?1所表示的曲
线上，并且A0(0,4)，求Sn的表达式.
23. （本小题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知?an?，?bn?为两非零有理数列（即对任意的i?N，ai,bi均为有理数），{dn}为一无理
*数列（即对任意的i?N，di为无理数）.
22（1）已知bn??2an，并且(an?bndn?andn)(1?dn)?0对任意的n?N恒成立，试求{dn}**的通项公式.
222（2）若{dn)(1?dn)?1?dn恒}为有理数列，试证明：对任意的n?N，(an?bndn?andn*??an?1成立的充要条件为??1?d4n.
???b1n?1?d2n（3）已知2??2425(0????2)，d?n?3tan(n?2?(?1)n?，对任意的n?N*，(a22n?bndn?andn)(1?dn)?1恒成立，试计算bn.
2016年上海市七宝中学高三模拟考试数学试题（理）
参考答案
一、选择题
1. (0,1] 2. ??0,2?? 3. 10 4.
?3R 5. 11 6. 3 7.
3135 8. 9. 56?
10. [16,36] 11. [?1,0]的子集都可以 12. 3a22 13.①②④ 14. a?0,b?0,c?0（答案不唯一，一组即可）
二、选择题
15.D 16.A 17.A 18.B 二、解答题 19.解：
3501006