江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考
数 学 试 卷
说明：1． 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2． 本卷总分160分，考试时间120分钟． 方差公式s2?[(x1?x)2?(x2?x)2?L?(xn?x)2]，其中x?1n1(x1?x2?L?xn)． n一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．
1．已知集合A?{x0?x?2}，B?{xx?1}，则AIB? ▲ ． 2．复数z?i(1?i)的共轭复数在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限． 3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通
过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60]内的汽车有 ▲ 辆．
4．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2
个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ▲ ．
5．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如下表，则这
组样本的方差为 ▲ ． 答对题数 人数分布 4 1 8 1 9 2 10 1
(第3题图)
(第5题表)
6．如右图所示的算法流程图中，最后输出值为 ▲ ．
第6题图
7．已知m，n是两条不同的直线，?，?是两个不同的平面．
①若m??，m??，则???； ②若m??，????n，???，则m?n； ③若m??，n??，?//?，则m//n； ④若m//?，m??，????n，则m//n． 上述命题中为真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）．
8.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，
今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织
得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为 ▲ 尺．（1匹=4丈，1丈=10尺） 9．若cos??2cos(??)，则tan(??)? ▲ ．
10．如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA?2，OC?4，
?4?8DCAC?5，则OB?OD? ▲ ．
11．已知关于x的方程x(x?a)?1在(?2,??)上有三个相异实根，则实
数a的取值范围是 ▲ ． 12．已知a?0,b?0，且
uuuruuurOA(第10题图)
B11b??1，则3a?2b?的最小值等于 ▲ ． aba13．如图，已知AC?8，B为AC的中点，分别以AB, AC为
直径在AC的同侧作半圆，M, N分别为两半圆上的动点
?????????BM?BN（不含端点A，B，，且，则AM?CN的C）
最大值为 ▲ ．
14．若关于x的不等式x3?3x2+ax?b?0对任意的实数x?[1,3]及任意的实数b?[2,4]恒成
立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说．．．．．．．明、证明过程或演算步骤．
15．已知△ABC内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且(1?tanA)(1?tanB)?2．
（1）求角C的大小； （2）求△ABC面积的最大值．
16．如图，在四面体ABCD中，AB?AC?DB?DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，
且AF??． AC（1）若EF//平面ABD，求实数?的值； （2）求证：平面BCD?平面AED．
B
E C （第16题图）
F
D
A
17． 如图，长方形材料ABCD中，已知AB?23，AD?4．点P为材料ABCD内部一点，
PE?AB于E,PF?AD于F，且PE?1，PF?3．现要在长方形材料ABCD中裁剪
出四边形材料AMPN，满足?MPN?150?，点M，N分别在边AB，AD上．
（1）设?FPN??，试将四边形材料AMPN的面积S表示为?的函数，并指明?的取值范围；
（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．
18．已知椭圆E：x?9y?m（m?0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有
两个交点A,B，线段AB的中点为M．
（1）若m?3，点K在椭圆E上，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，求KF的范围； 1?KF2（2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （3）若l过点(m,222DCNFAθPBEM(第17题图)
m)，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？3若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．
19．已知函数f(x)?aex，g(x)?lnx?lna，其中a为常数，且曲线y=f(x)在其与y轴的交点处的切线记为l1，曲线y=g(x)在其与x轴的交点处的切线记为l2，且l1// l2．
l2之间的距离； （1）求l1，（2）若存在x使不等式
x?m?x成立，求实数m的取值范围； f(x)（3）对于函数f(x)和g(x)的公共定义域中的任意实数x0，称|f(x0)?g(x0)|的值为两函数在x0处的偏差．求证：函数f(x)和g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
*20．设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+an?3，n?N．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：对于任意的n?N*，都有
?1?a1bn?a2bn?1?a3bn?2???anb1=???3?①求数列{bn}的通项公式；
n?1?3n?3成立．
②设数列cn=an?bn，问：数列{cn}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．
数 学 试 卷
说明：1． 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2． 本卷总分160分，考试时间120分钟． 方差公式s2?[(x1?x)2?(x2?x)2?L?(xn?x)2]，其中x?1n1(x1?x2?L?xn)． n一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1. (1,2) 2．四； 3．80
3 5225．
54． 6．25 7．①④ 8.
16 299．
2?1； 35 2511． (?,?2)
210．?12．11 13．4 14．(??,?2)
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说．．．．．．．明、证明过程或演算步骤．
15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．
（1）由(1?tanA)(1?tanB)?2得tanA?tanB?1?tanAtanB，
所以tan(A?B)?tanA?tanB?1，（4分）
1?tanAtanB 故△ABC 中，A?B??，C???（6分）
??（2）由正弦定理得
c?2，即c?2，（8分） ??sin? 由余弦定理得2?a2?b2?2abcos??，即2?a2?b2?2ab，（10分）
? 由2?a2?b2?2ab≥2ab?2ab得ab≤2?2，（当且仅当a?b时取等号）（12分） 所以S?1absin3?≤2?1.（14分）
2?2
16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．
解：（1）因为EF∥平面ABD，易得EF?平面ABC， 平面ABC?平面ABD?AB， 所以EF//AB，（5分）
又点E是BC的中点，点F在线段AC上， 所以点F为AC的中点， 由AF??得??1；（7分）
2AC （2）因为AB?AC?DB?DC，点E是BC的中点， 所以BC?AE，BC?DE，（9分） 又AE?DE?E，AE、DE?平面AED， 所以BC?平面AED，（12分） 而BC?平面BCD，
所以平面BCD?平面AED．（14分）
17．解：（1）在直角△NFP中，因为PF?3，?FPN??，
所以NF?3tan?， 所以S?NAP?11NA?PF?(1?3tan?)?3． ???????????2分 22在直角△MEP中，因为PE?1，?EPM?π??， 3