求极限的若干方法
摘要
极限概念是微积分中最重要、最基本的内容之一，很多重要的概念如连续、导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础之上的.因此极限运算是微积分的基本运算，而求极限的方法也就值得我们深入探讨.本文在数列和一元函数极限的定义和性质的基础上，全面概括了常见的数列和一元函数的极限的一般求法.我们结合相关的实例，展示了各种求法的应用技巧和适用对象，并指出了在运用该方法时应注意的一些问题，文中的内容对数学专业的本科学生有较好的参考价值和应用价值.
关键词
极限；方法；应用
Several Methods for Finding Limit
Abstract
The concept of limit is one of the most important and basic content in calculus, and many important concepts are based on it such as continuous, derivative, integral, etc. Therefore operation of limit is the basic operation in calculus and the methods for finding limit are also worth to be studied in detail. In this paper, based on the concepts and properties of limit, we summarize the common method for find limits of sequences and one-variable functions. The application skills and suitability are shown by some examples and the relative aspects in the progresses are emphasized as well. The paper has some reference and application value to mathematical undergraduate students.
Key words
Limit；methods；application
I
1 前言
极限最早的概念，在国外有所谓穷竭法，在中国有所谓割圆术，即把圆近似地割成边数很多的正多边形来计算圆面积.魏晋时代的刘薇就说过：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.后来和微积分同时产生，而且用得最多的一种运算，就是无穷多项相加
a1?a2???an??.
它可以理解为有限项的相加，但是越加越多，最后看它的变化趋势，这就是数列极限.把数列极限的思想用来观察求瞬时速度的推导，研究平均速度的变化趋势，从而建立一套从平均速度求瞬时速度的计算方法，这就是一元函数极限.
在研究求极限的方法之前，我们先来了解数列极限和一元函数极限的概念以及相关的性质.
数列极限的定义：
设?an?为数列，总存在正整数N,a为定数.若对任给的正数?，使得当n?N时有
an?a??，
则称数列?an?收敛于a，定数a称为数列?an?的极限，记作
liman?a，或an?a(n??).
n??数列极限的性质：
①（唯一性） 若数列?an?收敛，则它只有一个极限.
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②（有界性） 若数列?an?收敛，则?an?为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有
an?M.
an?a?0（或?0）③（保号性） 若lim，则对任何a???0,a?（或n??，存在正数N，使得当n?N时有 a??(a,0)）
an?a?（或an?a?）.
④（保不等式性） 设?an?和?bn?都为收敛数列.若存在正数N0，
an?limbn. 使得当n?N0时有an?bn，则limn??n??⑤（夹逼准则） 设数列?an?，?bn?都以a为极限，数列?cn?满足： 存在正数N0，当n?N0时有
an?cn?bn，
cn?a. 则数列?cn?收敛，且limn??函数极限的定义：
设函数f在点x0的某个空心邻域U0?x0;???内有定义，A为定数.若对任给的??0，存在正数?(????)，使得当0?x?x0??时有
f?x??A??，
则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作
x?x0limf?x??A，或f?x??A?x?x0?.
函数极限的性质：
f?x?存在，则此极限是唯一的. ①（唯一性） 若极限xlim?x0f?x?存在，则f在x0的某空心②（局部有界性） 若极限xlim?x0邻域U0?x0?内有界.
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f?x??A?0（或A?0）③（局部保号性） 若xlim，则对任何正?x0数r?A（或r??A），存在U0?x0?，使得对一切x?U0?x0?有
f?x??r?0（或f?x???r?0）.
f?x?和limg?x?都存在，且在某邻域④（保不等式性） 设xlim?xx?x00U0?x0;???内有f?x??g?x?，则
x?x0limf?x??limg?x?.
x?x0f?x??limg?x??A，且在某Uo?x0;??内有 ⑤（夹逼准则）设xlim?xx?x00f?x??h?x??g?x?，则
x?x0limh?x??A.
2 求极限的方法
在微积分中，极限的概念占有重要的地位，许多重要的概念如连续、导数、定积分广义积分等都是用极限来定义的.因此正确理解极限的内涵，掌握极限的求解方法是学好微积分的基本要求.然而求极限的方法因题而异，灵活多端，有些问题甚至会让人感到无从下手，下面将介绍一些求极限的一般方法和技巧，并结合一定实例，展示相关方法和技巧的基本应用. 2.1 利用极限定义求极限
用极限定义求极限，是极限问题的一个难点，它要求我们对极限的定义有深刻的认识，并完全理解其内涵.而做这类题目时，关键是对任意给定的正数?，如何找出定义中相应的N或?.这实际上是利用
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逆推的方法论证问题，可以培养逆向思维能力.
an?a，则lim例2.1 用定义证明：若limn??a1?a2???an?a. n??nan?a知，对???0， ?N0?0，当n?N0时，有 证明 由limn?? an?a?.
2?固定N0，当n?N0时，有
a1?a2???aN0?1?aN0???anna1?a?a2?a???aN0?1?a?a?aN0?a???an?an ?nMn?N0?1????nn20
其中M?a1?a?a2?a???aN?1?a，对固定的N0而言，它是一个确定的常数.故对上述??0，?N?N0,当n?N时，有
M??.从而 n2a1?a2???an?n?N0?1????a???????.
n2n222注 例2.1的结论是十分有用的，利用它可以迅速求出一些极限.
111????n?0； 例如：1 lim2n??n1?2?33???nn?1. 2 limn??nx2?12?例2.2 证明lim. x?12x2?x?13证明 当x?1时，有
x?1x2?12x?12????.
2x2?x?132x?1332x?1若限制x于0?x?1?1，此时x?0，则2x?1?1.
于是，对???0，只要取??min?3?,1?，则当0?x?1??时，便有
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