一、选择题
1．[2015·陕西高考]设f(x)＝x－sinx，则f(x)( ) A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 答案 B
解析 ∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f′(x)＝1－cosx≥0，∴f(x)单调递增，选B.
2．[2016·河南洛阳质检]对于R上可导的任意函数f(x)，若满足1－x
≤0，则必有( ) f′?x?
A．f(0)＋f(2)>2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)<2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1) 答案 A
解析 当x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)递减；当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，则f(0)＋f(2)>2f(1)，故选A.
3．[2016·河北石家庄模拟]若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞) 答案 B
3
解析 2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋x.设h(x)＝2ln x＋?x＋3??x－1?3
x＋x(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)x2单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，所以a≤h(x)min＝4，故a的取值范围是(－∞，4]．
2
x3mx＋?m＋n?x＋1
4．[2016·河北衡水中学调研]已知函数f(x)＝3＋2
的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，点P(m，n)表示的平面区域为D，若函数y＝loga(x＋4)(a>1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) C．(3，＋∞) 答案 A
m＋n
解析 f′(x)＝x＋mx＋2＝0的两根为x1，x2，且x1∈(0,1)，
2
B．(1,3] D．[3，＋∞)
x2∈(1，＋∞)，
??f′?0?>0，则????f′?1?<0
?
?m＋n1＋m＋?2<0，
m＋n
2>0，
??m＋n>0，即? ?3m＋n＋2<0，?
作出区域D，如图阴影部分，
可得loga(－1＋4)>1，所以1
5．[2016·江西八校联考]已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) C．(0,1) 答案 B
1??
B.?0，2? ??D．(0，＋∞)
解析 ∵f(x)＝x(ln x－ax)，∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，故f′(x)在(0，ln x＋1
＋∞)上有两个不同的零点，令f′(x)＝0，则2a＝x，设g(x)＝ln x＋1x，
－ln x
则g′(x)＝x2，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，
1
∴只需0<2a<1?0
6．[2015·河北秦皇岛二模]已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，f?x?1
当x≠0时，有f′(x)＋x>0，则函数F(x)＝xf(x)＋x的零点个数是( )
A．0 C．2 答案 B
f?x?
解析 ∵x≠0时，f′(x)＋x>0， xf′?x?＋f?x??xf?x??′∴>0，即>0. ① xx当x>0时，由①式知(xf(x))′>0， ∴U(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数， 且U(0)＝0·f(0)＝0，
∴U(x)＝xf(x)>0在(0，＋∞)上恒成立． 1
又x>0，∴F(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
B．1 D．3
∴F(x)在(0，＋∞)上无零点． 当x<0时，(xf(x))′<0，
∴U(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数， 且U(0)＝0·f(0)＝0，
∴U(x)＝xf(x)>0在(－∞，0)上恒成立， 1
∴F(x)＝xf(x)＋x在(－∞，0)上为减函数． 1
当x→0时，xf(x)→0，∴F(x)≈x<0， 1
当x→－∞时，x→0，∴F(x)≈xf(x)>0， ∴F(x)在(－∞，0)上有唯一零点．
综上所述，F(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B. 二、填空题
2
??1－x，x≤1，
7．[2015·山西四校联考]函数f(x)＝?若方程f(x)＝
?ln x，x>1，?
1
mx－2恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
?1e?
答案 ?，?
e??2
解析 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图，而函1?1???1
数y＝mx－2恒过定点?0，－2?，设过点?0，－2?与函数y＝ln x的图象
?
?
?
?
相切的直线为l1，切点坐标为(x0，ln x0)．因为y＝ln x的导函数y′＝
1ln x0＋2
111
x，所以图中y＝ln x的切线l1的斜率为k＝x0，则x0＝x0－0，解得x0＝e，所以k＝
111.又图中l2的斜率为2，故当方程f(x)＝mx－2恰有e
?1e?
四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是?，?.
e??2
8．[2015·河南郑州质检三]设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2014)2f(x＋2014)－4f(－2)>0的解集为________．
答案 (－∞，－2016)
解析 由2f(x)＋xf′(x)>x2，x<0得2xf(x)＋x2f′(x)
π??
??0，9．已知偶函数y＝f(x)对于任意的x∈2?满足f′(x)cosx＋?f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的有________．
?π??π?
(1)2f?－3? ?????π??π? (2)2f?－3?>f?－4? ?????π? (3)f(0)<2f?－4? ???π??π? (4)f?6?<3f?3? ???? 答案 (2)(3)(4) π?? 解析 因为偶函数y＝f(x)对于任意的x∈?0，2?满足f′(x)cosx＋ ? ? f(x)sinx>0，且f′(x)cosx＋f(x)sinx＝f′(x)cosx－f(x)(cosx)′，所以可构