初等几何研究试题答案
一、线段与角的相等 P491
1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD
在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF 在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2 由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AF ∴DF=CE
(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD ∴AD=AE
在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA
2.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O ,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=证明:延长AE,BC交于点F
??AED??BCA?90? ?ADE??BDC ??CBD??CAF又??ACF??BCA?90? AC?BC??ACF??BCD?AF?BD11又?AE?BD?AE?AF22又?ABEE?BE?BE平分?ABF即BD平分?ABC1BD,求证:BD平分∠ABC. 2
3.已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3?,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2?, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.
证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形
且底角是∠CDB=[180o－(180o－2?)]÷2=?.
∴∠BDE=(180°－2?)-?=180o－3? ∴A、B、D、E共圆
同理A、C、D、E共圆 ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE
1
4.设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60o 证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD ∵∠DBC=90o, ∴CD是直径,则∠CAD=90o 由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC ∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□ ∴AH=BD 又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R ∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30o ∴∠BDC=60o 又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60o
5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交
点0且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE. 证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2. ∴∠2=∠3, ∴GB = GO, ∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE, ∵ FG∥AB, ∴AF／CF=BG／CG=GO／CG, 又∵△FCO∽△COG,
∴CO／CF=GO／CG=AF／CF, ∴CO=AF, ∵CO=CE, ∴AF=CE.
6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行
线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.
证明:如图所示 设AC、ED的交点为F ∵AD是∠A的平分线
∴∠1=∠2 ∵DE∥AB ∴∠1=∠3 ∵CE∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2 ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5
则△FAD和△FCE是等腰三角形 ∴AF=DF,EF=CF ∴AC=DE 同理可证 BC=DE ∴AC=BC ∴△ABC是等腰三角形
7. 三条中线把△ABC分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等. 求证:△ABC是正三角形．
证明:∵△AOF、△AOE、△COD、△COE、△BOF、△BOD面积都相等
∴S△OFB=S△OEC 即:
A111111BF×r+FO×r+BO×r=CE×r+OE×r+OC×r 222222FHGrIOLEKr11 (BF+FO+BO)×r= (CE+OE+OC)×r ∴22
2
JDCB
BF+FO+BO=CCE+OE+OC
∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE 又F、E分别为AB、AC之中点 ∴AB=AC 同理:AB=BC 故△ABC是正三角形.
8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等
证明:该四边形为菱形.
证明:又∵△AOB、△BOC 、△COD、△DOA四个三角形的面积相等
A
?11OD?DC?OC?r????OB?BC?OC??r22
EDFG?CD?OC?OD?BC?OB?OCOD?OC?DC?OE?OG?OB?OC?BC?OI?OG?2DF?2CF?2BH?2CH
OIB?2DC?2BC
?DC?BC
∴四边形为菱形
CH9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 . 证明:连结O1 、O2,分别作O1 、O2到AC的垂线,垂足分别为P 、M
∵在△ABC中,BO是☉O1 、☉O2的公切线 ∴BO⊥O1 O2
又∵☉O1 、☉O2半径相同,且都与AC相切 ∴O1 O2‖AC ∴BO⊥AC BD⊥AC ∵两个相等的内切圆☉O1 、☉O3在对顶三角形
△AOB与△COD中 ∴周长C△AOB=C△COD ∴AO+BO+AB=CO+DO+CD 又∵OP=OQ=OM=ON ∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形又∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
10. 在锐角△ABC中,BD,CE是两高,并自B作BF⊥DE于F,自
C 作CG⊥DE于G,证明:EF=DG.
证明:设O,M分别是BC,FG的中点, 所以OM∥BF,
因为BF⊥FG, 所以OM⊥FG,
3
A O1 B Q O2 P O4 O N D M O3 C A D E F M G B O C
又因为∠BEC=∠BDC=90? 所以BCDE四点在以BC为直径的圆上, 因为OM⊥DE, 所以OM平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG.
11. △ABC中,M是BC的中点,I是内心,BC与内切圆相切与K. 求证:直线IM平分线段AK.
证明:作出∠A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F, 连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A为中点成位似,则: IL⊥BC,即K,I,L共线 于是原题借中位线可如下转化MI平分AK, ∴M平分DK ∴BD=KC 后者利用圆I与圆O两条外公切线相等 ∴EG=FH ∴BD+BK=CD+CK 则反推过去,得到IM平分线段AK.
12．在△ABC中,M是BC的中点,I是内心,AH⊥BC于H,AH交MI于E,求证:AE
与内切圆半径相等. 证明:如图所示 作△ABC的内切圆,
∴切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC ∴ KL是直径, 又∵M为BC的中点,I为内心,则AL∥ＭＩ 又∵AH⊥BC ∴AH∥LK 又∵点E点I分别都在AH、LK上 ∴AE∥LI ∴四边形AEIL为平行四边形 ∴AE＝LI 命题得证.
13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:∠QNM＝∠MNP
证明:利用矩形的中心 设O是矩形ABCD的中心,则O也是MN的中点, 延长QN交OC的延长线于R,如图,则O 又是PR的
中点,故NC平分∠PNR.,而NM⊥NG. ∴NM平分∠PNQ
14. 给定以O为顶点的角,以及与此角两边相切于A、B的圆周,过A作OB的平行线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE交OB于K,求证:OK=KB.
证明:如图所示,过C作圆的切线交OB延长线于D. ∵OD,OA,CD都是圆的切线,且AC∥CD
∴四边形ACDO是等腰梯形,∠DOA=∠D ∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAK
4
ALGHICMKBDEFOAFLEGIBMKHC
∴∠BOC=∠OAK ∵∠DOA=∠D ∴△AOK～△ODC ∵∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB
15. 在等腰直角?ABC的两直角边CA,CB上取点D、E使CD=CE,从C、
D引AE得垂线,并延长它们分别交AB于K、L,求证:KL=KB. 证明:延长AC至E'使CE'=CE,再连BE'交AE的延长线于H. ∵?ABC是等腰直角三角形 ∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90° 又∵CE=CE' ∴?BCE'≌?ACE ∴∠CAE=∠CBE'
∵∠AEC=∠BEH ∴?BHE∽?ACE ∴∠BHE=∠ACB=90° ∵DL∥CK∥E'B及DC=CE' ∴KL=LB.
16. 点M在四边形ABCD内,使得ABMD为平行四边形,试证:若∠CBM= ∠CDM,则∠ACD=∠BCM.
证明:作AN∥BC且AN=BC,连接DN、NC
∵ABMD为平行四边形,AN∥BC且AN=BC
∴ABCN、DMCN为平行四边形,AD=BM ∴DN=CM、AN=BC ∴△ADN≌△BMC ∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7
∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴A、C、N、D共圆（视角相等） ∴∠5=∠7（同弧AD） ∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM
117. 已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-∠BDC,求证:△ABC是等腰的
2CD1KO1? ∴? OD2AO2证明:延长CD使得BD＝DE,并连结AE ∵∠ADB＝90°－
1∠BDC 2 ∴2∠ADB＋∠BDC＝180° 又∠BDC＋∠ADB＋∠ADE＝180° ∴∠ADB＝∠ADE 又∵BD＝DE,AD＝AD ∴△ADB≌△ADE ∴∠ABD＝∠AED＝60°,AB＝AE 又∵∠ACD＝60°
∴△ACE为正三角形 ∴AC＝AE ∴AB＝AC ∴△ABC为等腰三角形
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