北大计算机考研 高等数学真题解答
2008年（5题60分）
1 （12分）f(x)有连续的二阶导数，f(a)?0，求lim1f(x?a)?f(a)?1f?(a)。
x?a2 （12分）f(x)在?a,b?上连续且f(a)?f(b)?0，f?(a)f?(b)?0，证明：在?a,b?上必有一点u使得f(u)?0。 3 （12分）求不定积分?1?lnx(x?lnx)2dx。
4 （12分）f(0)?0且f?(0)?0，f(x)有连续的导数，求limx?0?xtf(x?t)x14220dx。
5 （12分）f(x)在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数f()发散，无穷级
n数(?1)nf()收敛。
n12007年（5题60分）
1 （12分）求不定积分?e2x(tanx?1)2dx。
解：?e2x(tanx?1)2dx??e2xsec2xdx??e2x2tanxdx?
?edtanx?e
2x2xtanx??edtanx?e2x2xtanx?C。
2 （12分）求连续函数f(x)，使它满足?f(tx)dt?f(x)?xsinx,f(0)?0。
01解：令u?tx,则t?0时，u?0，t?1时，u?x，du?xdt；
?10f(tx)dt?1x?x0f(u)du?f(x)?xsinx??x0f(u)du?xf(x)?xsinx?
22f(x)?f(x)?xf?(x)?2xsinx?xcosx?f?(x)??2sinx?xcosx?
f(x)?cosx?xsinx?C?f(0)?1?C?0?C??1?f(x)?cosx?xsinx?1。
3 （12分）设0?x1?y1,xn?1?n??n??xnyn，yn?1?xn?yn2,(n?1,2,?)。
证明：limxn和limyn都存在并相等。
解：y1?x1?0?xn?0,yn?0，xn?yn?xn?yn?2xnyn?
yn?1?xn?1(n?0,1,?)?yn?xn(n?1,2,?)； yn?xn(n?1,2,?)?yn?1?yn?yn?xn(n?1,2,?)?xn?1?xn?yn2?0?yn?1?yn?{yn}单调递减；
xnyn?xnxn?xn?{xn}单调递增；
由以上两结论可知：
yn?xn???x1?{yn}有下界，于是limynn??存在；
xn?yn???y1?{xn}有上界，于是limxn存在。
n??令limxn?A,limyn?B，由xn?1?x??x??xnyn，yn?1?xn?yn2x??有：
A?AB，B?A?B2解得A?B?1，所以limxn?limyn?1。
x??
4 （12分）求和Sn?x?22x2?32x3???n2xn。
解：（1） 若x?1，Sn?1?22?32???n2?n(n?1)(2n?1)/6； （2） 若x?1，Snx?1?2x?3x???nx222223n2n?1?Tn?n?1?
x0(Snx)dx?
x?2x?3x???nx?Tnx?1?2x?3x???nxx??0(Tnx)dx?x?x?x???x?nn?123nx(1?x)1?xn??x(1?xn)???Tn?x??1?x??
??x[1?(n?1)x?nx(1?x)22]??x[1?(n?1)xn?nxn?1]??? ?Sn?x?2??(1?x)??2n?2x?x?(n?1)x2n?1?(2n?2n?1)x(1?x)3?nx2n?3。
5 （12分）求极限limlim1nn1nnn??n(n?1)?(2n?1)。
n??1?n(n?1)?(2n?1)?exp?lnlim?n??nn?n(n?1)?(2n?1)???1n1n?1??exp?limln[(1?)?(1?)]??
n??nnnn??11n?1??exp?lim[ln(1?0)?ln(1?)???ln(1?)]??
n??nnn??exp{?10ln(1?x)dx}?exp{?(1?x)ln(1?x)?0??dx}?e1012ln2?1?4/e。
2006年（5题60分）
1 （12分）计算积分?解：??e?220xe23?x2dx。
12220xe13?x2dx?212?1220xe2?xdx2??2?0xde2?x1?12?x2???xe??2?2??02?20e?x2dx?
2??e?2?x20?(1?3e?2)。
2 （12分）求lim1?cos(e3x2?1)x?0(tanx)(sinx)。
2x2sinx~x；x?0时，x2?0，e?1~x； 解：x?0时，tanx~x，22x?0时，ex?1?0，1?cos(ex?1)~12(ex2?1)2；所以：
lim1?cos(e(tan3x21?1)?lim2x?0(ex2?1)21?lim2x?0(x)x422x?0x)(sinx)x?x3?12。
3 （12分）设0?x?1，证明不等式证：0?x?1时，
1?x1?x?e?2x1?x1?x?2x?e?2x。
?2x?(1?x)e?1?x?xe?e?2x?x?1?0
令f(x)?xe?2x?e?2x?x?1，有f(0)?0；则f?(x)??2xe?2x?e?2x?1，有f?(0)?0；
?2xf??(x)?4xe?0,(0?x?1)，所以f?(x)在(0,1)上单调递增，又f?(0)?0，
所以f?(x)?0,(0?x?1)，可知f(x)在(0,1)上单调递增，又f(0)?0， 所以f(x)?0,(0?x?1)，即
4 （12分）求幂级数?n?1?1?x1?x?e?2x，(0?x?1)。
2n?13x2n的收敛域与和函数。
2(n?1)解：求收敛半径：lim(2(n?1)?1)x(2n?1)x3n??2n3?x，当x?1时级数收敛，当x222?1时级数发散，所以收敛半径R?1。
?当x??1时，?n?1?2n?13?x2n??n?1?2n?132n显然发散，所以收敛域I?(?1,1)。
1?2n求和函数：?n?1?2n?13x2n??nx3n?1n2??x3n?1?2?n?nt3n?1?t?1?n?t3n?1?,(0?t?x?1)2；
?n?ntn?1?t??n?1ntn?1??t?ntn?10tdt???0t?ntn?1dt??n?1n?1?nt0n?1dt??n?1t?nt1?t,(0?t?1)；
?所以：?ntn?t?(n?1?t1?t)??t(1?t)t2,(0?t?1)；
?n?12n?13x2n?2t3(1?t)2?3(1?t)?x(3?x)3(1?x)2222,(x?1)。
5 （12分）设f(x)连续，在x?0处可导，且f(0)?0,f?(0)?4。
求lim?x0(t?f(u)du)dtt0x?0xsinx3。
t解：令v(t)??0tf(u)du???f(u)du?v?(t)??f(t)；
0lim?(t?0x0tf(u)du)dt3x?0xsinx?lim?tv(t)dt0xx?0xsinx3?limxv(x)3xsinx?xcosx23x?0?limv(x)3xsinx?xcosx2x?0?
lim?f(x)3sinx?5xcosx?xsinx2x?0?lim?f?(x)8cosx?7xsinx?xcosx2x?0??f?(0)8cos0??12
2005年（7题70分）
1 （8分）求lim解：lim
2 （10分）设arctan解：等式arctan(xy??y)x1?y22nnn??n。
n??11?1?????0n?exp?limlnn??exp?lim?e?1 lnx??exp?lim??n??n??x???x??x???x?yx?ln2x?y222，求y?,y??。
yx?lnx?y两边对x求导得：
?(x?yy?)，
x2?1x?y22?1x?y22化简得y??x?yx?y（y?x,y?y(x)是arctanyx?lnx?y22确定的隐函数）；
x?yx?y再次对x求导得y???2(x?y)(x?y)322(1?y?)(x?y)?(x?y)(1?y?)(x?y)2?2xy??2y(x?y)2，将y??代入
得：y???
（y?x,y?y(x)是arctanyx?lnx?y22确定的隐函数）。
3 （8分×2）求下列不定积分： （1）
?x31?xdx2；
（2） ?coslnxdx。 解：（1）
13?x3231?xdx?2112x?22(x?1)2d(x?1)?22132x?32d(x?1)2?2
x(x?1)22?132?(x3?1)(dx2?1)?1335x(x?1)?22215(x?1)2?C2。