3.1.1[课时作业] [A组 基础巩固]
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( ) A．－2 2C．－
3
2B. 3D．2
解析：2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2. 答案：D
2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
iA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件 解析：直接法．
∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
i而ab＝0时有a＝0或b＝0，
∴由a＝0， b≠0?ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
i答案：B 3．已知复数z＝A．1或－1 C．－1
1
＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( ) a－1
B．1 D．0或－1
bbb2a－1＝0，?12
解析：因为复数z＝＋(a－1)i是实数，且a为实数，则?解得a＝－1.
a－1?a－1≠0，
答案：C
4．设a，b为实数，若复数1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，则( ) 31
A．a＝，b＝
22
B．a＝3，b＝1
13C．a＝，b＝
22
D．a＝1，b＝3
?a－b＝1，31
解析：由1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i可得?解得a＝，b＝.
22?a＋b＝2，
答案：A
5．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的为( )
A．4 B．－1 C．4或－1
D．1或6
?m2解析：由题意?－3m－1＝3，
?
m2－5m－6＝0，
解得m＝－1. 答案：B
x26．已知－x－6
x＋1＝(x2－2x－3) i(x∈R)，则x＝________.
解析：∵x∈R，∴x2－x－6
x＋1∈R，
由复数相等的条件得：?x2－x－6?
x＋1＝0，
＝3.
?x2
－2x－3＝0，
解得x答案：3
7．设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝________.
解析：因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有??x＋y＝－x－3， ?x＝－4，
?x－2y＝y－19，解得??y＝5，
答案：1
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________. 解析：复数m2
＋m－2＋(m2
－1)i是纯虚数的充要条件是
??m2＋m－2＝0，?m－1≠0， 解得??m＝1或m＝－2，
2?m≠±1，
即m＝－2. 故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数． 答案：－2
9．设复数z＝lg(m2
－2m－2)＋(m2
＋3m＋2)i，当m为何值时，
x＋y＝1. 所以
(1)z是实数；(2)z是纯虚数． 解析：(1)要使复数z为实数，需满足
?m2－2m－2>0，?2解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数． ?m＋3m＋2＝0，
?m2－2m－2＝1，
(2)要使复数z为纯虚数，需满足?2解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．
?m＋3m＋2≠0，
10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值． 解析：因为M∪P＝P，所以M?P，
即(m－2m)＋(m＋m－2)i＝－1，或(m－2m)＋(m＋m－2)i＝4i.
2
2
2
2
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
?m2－2m＝－1，?2解得m＝1； ?m＋m－2＝0，
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
?m2－2m＝0，?2解得m＝2. ?m＋m－2＝4，
综上可知m＝1或m＝2.
[B组 能力提升]
1．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)的实部为2，虚部为1，复数z2＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)．当z1＝z2时x，
y的值分别为( )
A．x＝3且y＝5 C．x＝2且y＝0 解析：易知z1＝2＋i
由z1＝z2，即2＋i＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)
B．x＝3且y＝0 D．x＝2且y＝5
?x－1＝2∴?解得x＝3且y＝5. ?2x－y＝1
答案：A
2．复数z＝a－b＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是( )
2
2
A．|a|＝|b| C．a>0且a≠b 解析：z为纯虚数
B．a<0且a＝－b D．a>0且a＝±b
∴a＋|a|≠0且a－b＝0
2
2
因此得a>0且a＝±b. 答案：D
3．已知关于x的方程x＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，则实数m的值是________．
2
解析：设x＝a为方程的一个实根 则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0， 即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.
因为a，m∈R，由复数相等的充要条件
1?m＝，?12解得?
1a＝－.??2
?a2＋a＋3m＝0，
有?
?2a＋1＝0，
1
答案：
12
4．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2, 则a的值为________．
?
解析：由z>z，得?a＋a＝0，
?－4a＋1>2a，
2
1
2
2a＋3a＝0，
2
??
即?a＝0或a＝－1，
1?a<.?6
答案：0
3
a＝0或a＝－，
2
解得a＝0.
5．已知复数z1＝m＋(4－m)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范
2
围．
解析：由z1＝z2，即m＋(4－m2)i＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，m∈R)
?m＝2cos θ，得?消去m得 ?4－m2＝λ＋3sin θ，
λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4(sin θ－)2－ 38
916
由于－1≤sin θ≤1.
?9?9
故－≤λ≤7，即λ的取值范围为?－，7?.
16?16?
?a b??3x＋2y i?
?＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝??(x，y∈R)，求复数z＝x2＋yi. 6．定义运算?
?c d??－y 1??a b?
?＝ad－bc 解析：由定义运算?c d??
?3x＋2y i?
??＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi. ?－y 1?
因为x，y为实数，
?x＋y＝3x＋2y，?2x＋y＝0，所以有?得?
?x＋3＝y，?x＋3＝y.
解之得x＝－1，y＝2 因此z＝x2＋yi＝1＋2i.