第2课时 切线的判定和性质
教学目标
1．理解并能熟练运用切线的性质定理和判定定理． 2．掌握切线长定理及其应用．
3．会作三角形内切圆并能够解决一些数学问题． 教学重难点
切线的判定定理，切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的问题，切线长定理的初步运用．
教学过程
导入新课
〈方式1〉
下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们要研究的直线和圆相切的情况．
〈方式2〉
1．复习、回顾直线和圆的三种位置关系．
2．如图所示的图形，请学生判断直线和圆的位置关系．
学生判断的过程中，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线和圆是否只有一个公共点？根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其他方法．
推进新课
一、合作探究
(一)切线的判定定理
1．做一做：任意画⊙O，作⊙O的一条半径OA，过点A作OA的垂线l，观察并确定直线l和⊙O的位置关系．
2．议一议：由以上做法讨论如何判定一条直线是圆的切线．
3．结论：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．议一议：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，应该如何证明？
归纳：应分为两步：
(1)直线经过半径的外端点；(2)直线垂直于这条半径． (二)切线的性质定理
议一议：如果知道直线是切线，有什么性质呢？
分析：实际上，如图，CD是切线，A是切点，连接AO与⊙O交于点B，那么直线AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC＝∠BAD＝90°.
因此，我们有切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
(三)切线长定理
1．做一做：我们知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连接PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B．
议一议：这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系．
2．结论：
(1)切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3．思考：如何证明以上定理？ (四)三角形的内切圆
1．做一做：已知△ABC，作三个内角的平分线，说说它们具有什么性质？
2．议一议：若以△ABC内角平分线的交点为圆心，以该交点到三角形一边的距离为半径画圆，这个圆与△ABC的三边有什么关系？
3．相关概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
二、应用迁移
1．切线的判定与性质
如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
(1)CD和⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由． (2)若CD和⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
分析：(1)要说明CD是否是⊙O的切线，因为C点已在圆上，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C．
(2)由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°，得BC=BD=10. 解：(1)CD和⊙O相切． 理由：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即∠OCA+∠OCB=90°. ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A， ∴∠OCA=∠DCB．
∴∠OCD=90°.又C点在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线．
(2)在Rt△OCD中，∠D=30°，∴∠COD=60°. ∴∠A=30°.∴∠BCD=30°. ∴BC=BD=10.∴AB=20.∴r=10.
点拨：证明一条直线是圆的切线时，若已知直线和圆的交点，则证明直线和过交点的半径垂直；若不知道交点，则过圆心作直线的垂线段，然后证明垂线段是半径．
2．切线长定理
如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6，求内切圆的半径r.
分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求，就需添加辅助线，如果连接AO，BO，CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决．
解：连接AO，BO，CO.
∵⊙O是△ABC的内切圆且D，E，F是切点， ∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2. ∴AB=4，BC=5，AC=3. 又∵S△ABC=6，
∴
1(4?5?3)r=6. 2∴r=1.
三、巩固提高
1．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则这点到圆的最短距离为( )．
A．93 B．9(3－1) C．9(5－1) D．9 答案：C
2．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B，C，连接AB，AC，连接PO交⊙O于D，E.
(1)求证：∠PAB＝∠C． (2)如果PA2＝PD·PE，那么当PA＝2，PD＝1时，求⊙O的半径． (1)证明：作直径AF，连接BF. ∴∠FBA＝90°.∴∠F＋∠BAF＝90°. 又∵PA是⊙O的切线，AF为直径， ∴FA⊥PA．∴∠PAB＋∠BAF＝90°. ∴∠PAB＝∠F.
又∵∠F＝∠C，∴∠PAB＝∠C．
(2)解：把PA＝2，PD＝1代入PA2＝PD·PE，得PE＝4.∴DE＝PE－PD＝3.
3
∴⊙O的半径为＝1.5.
2
本课小结
1．本节课所学的定理是：
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
2．应用上面的知识解决实际问题．