微分方程的概念
例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T与时间t的函数关系为T?T(t)，则可建立起函数T(t)满足的微分方程
dT??k(T?20) (1) dt其中k(k?0)为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.
根据题意，T?T(t)还需满足条件
T|t?0?100. (2)
例2（E02）设一质量为m的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F等于物体的质量m与物体运动的加速度?成正比，即F?m?，若取物体降落的铅垂线为x轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是t?0，物体下落的距离x与时间t的函数关系为x?x(t)，则可建立起函数x(t)满足的微分方程
d2x?g
dt2其中g为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型. 根据题意，x?x(t)还需满足条件
x(0)?0,
dx?0. dtt?0例3（E03）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.
dy(1)?x2?y; dx3
dy?dy?(2)x???2?4x?0;
dx?dx?2d2y?dy?(3)x2?2???5xy?0; (4)cos(y??)?lny?x?1.
dx?dx?解 (1)(2)(3)(4)
是一阶线性微分方程，因方程中含有的
dy和y都是一次. dx是一阶非线性微分方程，因方程中含有的是二阶非线性微分方程，因方程中含有的
dy的平方项. dxdy的三次方. dx是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数cos(y??)和lny.
微分方程的解
例4（E04）求曲线族x?Cy?1满足的微分方程，其中C为任意常数.
解 求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程,使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.因此所求的微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等.这里,我们通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程.在等式
22
x2?Cy2?1两端对x求导,得
2x?2Cyy??0.
1?x2再从x?Cy?1解出C?,代入上式得
y2221?x22x?2?2y?y??0,
y化简即得到所求的微分方程 xy?(1?x2)y??0.
例5（E05）验证函数y?(x2?C)sinx(C为任意常数)是方程
dy?ycotx?2xsinx?0 dx的通解, 并求满足初始条件y|x??2?0的特解.
解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将y?(x2?C)sinx求一阶导数,得
dy?2xsinx?(x2?C)cosx, dx把y和
dy代入方程左边得 dxdy?ycotx?2xsinx?2xsinx?(x2?C)cosx?(x2?C)sinxcotx?2xsinx?0. dx因方程两边恒等,且y中含有一个任意常数,故y?(x2?C)sinx是题设方程的通解. 将初始条件yx???0代入通解y?(x2?C)sinx中，
2?2?C C??. 得0?44?2?2??x. 从而所求特解为 y???x?4?sin???2可分离变量的微分方程
例1（E01）求微分方程解 分离变量得从而y??ex
例2（E02）求微分方程dx?xydy?ydx?ydy的通解. 解 先合并dx及dy的各项,得y(x?1)dy?(y2?1)dx 设y2?1?0,x?1?0,分离变量得 两端积分
y1dy?dx
x?1y2?122dy?2xy的通解. dxdydy?2xdx两端积分得?2xdx ln|y|?x2?C1 yy???C1??eC1?ex,记C??eC1,则得到题设方程的通解 y?Cex.
22?ydy?y2?1?11dx得 ln|y2?1|?ln|x?1|?ln|C1| x?12于是 y2?1??C12(x?1)2记C??C12,则得到题设方程的通解 y2?1?C(x?1)2.
注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定g(y)?0的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使g(y)?0的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C?0，但这样方程就失去特解y??1，而如果允许C?0，则y??1仍包含在通解
y2?1?C(x?1)2中.
例3 已知 f?(sin2x)?cos2x?tan2x, 当0?x?1时，求f(x). 解 设y?sin2x,则cos2x?1?2sin2x?1?2y,
sin2xsin2xytanx???.
cos2x1?sin2x1?y2所以原方程变为f?(y)?1?2y?y1,即f?(y)??2y?. 1?y1?y?1??1?y)?C, dy??y2?ln(?2y?所以 f(y)????1?y??故 f(x)??[x2?ln(1?x)]?C(0?x?1).
例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律. 解 设物体的温度T与时间t的函数关系为T?T(t),在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:
?dT(1)???k(T?20) ?dt(2)??T|t?0?100其中k(k?0)为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分
dT??kdt; T?20?1dT??kdt,得ln|T?20|??kt?C1(其中C1为任意常数)， T?20?即 T?20??e?kt?C1??eC1e?kt?Ce?kt(其中C??eC1). 从而T?20?Ce?kt,再将条件(2)代入,得C?100?20?80, 于是，所求规律为T?20?80e?kt.
注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.
例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37?C按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为35?C，并且假定周围空气的温度保持20?C不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是30?C，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？
解 根据物体冷却的数学模型，有
?dT???k(T?20),k?0, ?dt?.?T(0)?37其中k?0是常数．分离变量并求解得
T?20?Ce?kt，
为求出k值，根据两个小时后尸体温度为35?C这一条件，有
35?20?17e?k?2，
求得k?0.063，于是温度函数为
T?20?17e?0.063t，
将T?30代入上式求解t，有
10?e?0.063t，即得t?8.4(小时)． 17于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.
例6（E04）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时(t?0)速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.
解 设降落伞下落速度为v(t),降落伞下落时，同时收到重力P与阻力R的作用. 降落伞所受外力为 F?mg?kv
根据牛顿第二定律: F?m?,得到v(t)满足微分方程
mdv?mg?kv (1) dt初始条件 vt?0?0.将方程(1)分离变量得
dvdt?
mg?kvm两边积分得
dvdt??mg?kv?m ?即 mg?kv?e1tln(mg?kv)??C1， km?tmg 或 v??Cemkk?t??k??C1??m??e?kC1??C＝－k???? ?代入初始条件得 C??mg kk?t?mg??1?em?. 故所求特解为 v??k???
下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.
一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.
如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.
设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t),则有
dh(t)?kh(t)[H?h(t)] (2.8) dt其中k?0的是比例常数. 这个方程称为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.
注：Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.
例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型
dy?y(k?by),dt其中k,b的称为生命系数.
y(t0)?y0 (2.9)
这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.
有生态学家估计k的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得b?2，从而估计得：
(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.
后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.
例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.
解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为
Q＝dV?0.62?S?2gh, dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
?S?1cm2, ?dV?0.622ghdt. ①
设在微小的时间间隔[t,t??t],水面的高度由h降至h??h,则dV???rdh,
2?r?1002?(100?h)2?200h?h2, ?dV???(20h0?h2)dh. ②
比较①和②得:
??(200h?h2)dh?0.622ghdt, 即为未知函数得微分方程. dt???0.622g?(200h?h3)dh,
?ht?0?100, ?C?所求规律为 t?
?0.622g?14?105, 15?4.652g(7?105?103h3?3h5).
例8 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少?