高等数学（数二）复习知识点及作业
按照同济大学高等数学第六版制定
第一章 函数与极限 （时间1周，每天2-3小时） 章节 复习知识点及作业 函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初1.1 等函数具体概念和形式.注：一、集合 二、映射 P17-20双曲函数 （不用看） 习题1－1：4，5，8，9，15，16 数列极限的定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 ) 注：用定义证明极限不用看 1.2 习题1－2：1，4，5，6注：记住4,5,6的结论，不用证明 函数极限的定义与基本性质（极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数1.3 列极限的关系等）注：用定义证明极限不用看 习题1－3：1，2，4 无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极1.4 限的关系 习题1－4：4，6，7 极限的运算法则(6个定理以及一些推论) 1.5 习题1－5：1，2，3，4,5 大纲要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，准则，并会利用它们求极限，不要混淆，应熟悉等价表达式）,函数极限的存在问1.6 题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数重点 极限求数列极限，利用夹逼准则求极限，求递归数列的极限. 掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的习题1－6：1，2，4 无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无1.7 穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭重点 一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法.习题1－7：1，2，3，4 函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四1.8 重点 和间断点的类型。 习题1－8：2，3，4，5 连续函数的运算与初等函数的连续性(包括和,差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函1.9 数的连续性) 习题1－9：3，4，5，6 理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理(零点定理对于证明根1.10 的存在是非常重要的一种方法).注：P72一致连续性 重点 （不用看） 习题1－10：1，2，5 总复习题一：1，2，3,4,5，9，10，11，12 （有界则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）区间上连续函数的性质性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 第二章 导数与微分（时间1周，每天2-3小时） 导数的定义、几何意义、，单侧与双侧可导的关系，可导与连续之间的关系（非常重要，经常会出现在选择题中），函数的可导性，导函数,奇偶函数与周期2.1 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平函数的导数的性质，按照定义求导及其适用的情形，面曲线的切线方程和法线方利用导数定义求极限. 会求平面曲线的切线方程和法线方程. 程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解习题2－1：6，7，9，11，14，15，16，17，18,19,20 函数的可导性与连续性之间2.2 复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的关系． 重点 的导数，由复合函数求导法则导出的微分法则，（幂、2．掌握导数的四则运算指数函数求导法，反函数求导法），分段函数求导法. 法则和复合函数的求导法则，习题2－2：2，3，5，7，8，10，11，14 2.3 掌握基本初等函数的导数公了解微分的四则运算法则高阶导数求法（归纳法，分解法，用莱布尼兹法则） 式．和一阶微分形式的不变性，会重点 习题2－3：2，3，10，11，12 2.4 相关变化率 重点 习题2－4：2，4，7，8，9，10，11 函数微分的定义，微分的几何意义，微分运算法则 2.5 注：P119 微分在近似计算中的应用（不用看） 习题2－5：2，3，4 13，14 由参数方程确定的函数的求导法，隐函数的求导法，求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导总复习题二：1，2，3，5，6，7,8，9，10，11，12，数． 第三章 微分中值定理与导数的应用（时间1周，每天2-3小时） 微分中值定理及其应用（费马定理及其几何意义，罗3.1 1．理解并会用罗尔尔定理及其几何意义，拉格朗日定理及其几何意义、（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理． 2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用． 4．会用导数判断函数图形的凹凸性. 重点 柯西定理及其几何意义） 习题3－1：5－12 3.2 洛比达法则及其应用 重点 习题3－2：1－4 3.3 泰勒中值定理，麦克劳林展开式 重点 习题3－3：1－7，10 求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐进3.4 线（选择题及大题常考） 重点 习题3－4：1，2，4，5，8，9， 12，13，14，15 函数的极值,(一个必要条件,两个充分条件),最大最3.5 小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题，与最重点 值问题有关的综合题 习题3-5:1,4,5,6,7 简单了解利用导数作函数图形（一般出选择题及判断3.6 图形题），对其中的渐进线和间断点要熟练掌握. 习题3－6：2,4 弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径. 注： P175曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线不用3.7 看 习题3-7：1-5 总复习题三：1,2,4,6,7,8,10,11,12,20 5.会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形． 6．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径． 第四章 不定积分（时间1周，每天2-3小时） 原函数与不定积分的概念与基本性质（它们各自的定义，之间的关系，求不定积分与求微分或导数的关4.1 系），基本的积分公式，原函数的存在性 习题4－1：1，7 4.2 换元积分法 习题4－2全部 重点 4.3 分部积分法 习题4－3全部 重点 4.4 4.5 有理函数的积分 习题4－4 全部 积分表的使用（不用看） 总习题四：全部 第五章 定积分（时间1周，每天2-3小时） 5.1 定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积分的7个性质) 1．理解定积分的概念． 2．掌握定积分的性质及函数有理式和简单无理函数的积分． 法． 3．会求有理函数、三角2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分1．理解原函数的概念，理解不定积分的概念． 注：P228定积分的近似计算（不考）习题5－1：4，定积分中值定理，掌握换元积10，13 5.2 微积分的基本公式 积分上限函数及其导数 牛顿－分法与分部积分法． 4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式． 5．了解反常积分的概念，重点 莱布尼兹公式 习题5－2：1－12 5.3 定积分的换元法与分部积分法 重点 习题5－3：1，2，3，4，6，7 5.4 反常积分 无界函数反常积分与无穷限反常积分 习题：5－4：1－3 会计算反常积分． 5.5 反常积分的审敛法（不考） 总复习题五：1，3，4，5，6，7，10，13 第六章 定积分的应用（时间1周，每天2-3小时） 6.1 6.2 定积分元素法 定积分的几何应用（求平面曲线的弧长，求平面图形掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值． 重点 的面积，求旋转体的体积，求平行截面为已知的立体体积，求旋转曲面的面积） 习题6－2： 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,15,16,21,22 6.3 定积分在物理学上的应用（变力沿直线所做的功，水压力，引力） 习题6-3 :1-12 总复习题六：1－6 第七章 微分方程（时间1周，每天2-3小时） 微分方程的基本概念（微分方程及其阶、解、通解、7.1 初始条件和特解） 习题7-1：1，2，3，4，5 7.2 可分离变量的微分方程(可分离变量的微分方程的概概念． 2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程． 3．会用降阶法解可降阶的微分方程 4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理． 5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程． 解、通解、初始条件和特解等1．了解微分方程及其阶、重点 念及其解法 ) 习题7-2：1，2 7.3 齐次方程（一阶齐次微分方程的形式及其解法） 重点 习题7－3：1，2 7.4 一阶线性微分方程，伯努利方程 重点 习题7—4：1，2 注：伯努利方程数学二不考 7.5 可降阶的高阶微分方程 重点 习题7-5:1,2 7.6 高阶线性微分方程（微分方程的特解、通解） 重点 习题7-6：1-4 7.7 常系数齐次线性微分方程（特征方程，微分方程通解