DFT基本知识点
1. 线性卷积：翻折、移位、相乘、相加
有限长序列常采用竖乘法直接运算出结果，长度为N1+N2-1 2. 信号的采样：
采样角频率大于原信号的最高截止频率的2倍 实质为原信号频谱的周期延拓，延拓周期为采样角频率 3. 信号的内插：
时域与内插函数相卷积 （内插函数为Sa函数） 实质为频域与矩形选频网络相乘
4. 混叠现象（时域采样，导致频域周期延拓，可能产生频谱重叠）、
频谱泄露（时域截断，即时域乘以窗函数，相当于频域卷积，导致频谱失真）、 栅栏效应（FFT总是选取有限的离散点处进行计算，相当于透过栅栏看风景） 减小栅栏效应：先加窗，再补零 5. Z变换及其收敛域：
有限长序列：整个Z平面 右边序列：圆外 左边序列：圆内 双边序列：环形
6. 周期序列的离散傅立叶级数DFS与有限长序列的离散傅立叶变换DFT
DFS变换对（实际上只有有限个序列值有意义） x(n)和X（k）具有周期性，且主值序列一一对应 因此引出有限长序列的时频域的对应变换对DFT
7. 线性卷积 （翻折、移位、相乘、相加）
圆周卷积 （补零、圆周延拓、翻折、取主值区间、移位、相乘、相加） 8. 线性相关与圆周相关 9. 圆周奇对称与圆周偶对称 10. 圆周共轭对称与圆周共轭反对称 11. 奇对称分量与偶对称分量 12. 圆周奇对称分量与圆周偶对称分量
数字滤波器的结构考点笔记
1. 数字滤波器的数学模型：差分方程、系统传递函数（Z变换） 2. 典型结构：IIR/FIR
3. 表示方法：方框图、信号流图 4. 核心算法：乘加器 5. 因果稳定系统：
最小相位延迟系统（所有零点在单位圆内）、最大相位延迟系统（所有零点在单位圆外） 6. 逆因果稳定系统：
最大相位超前系统（所有零点在单位圆内）、最小相位超前系统（所有零点在单位圆外） 7. IIR特点：单位冲激响应无限长、存在非零有限极点、递归结构 8. IIR四种结构及各自的流图画法：直接I型、直接II型、级联型、并联型 9. 转置定理：
将原信号流图中所有支路方向倒转，并将输入输出加以交换，则系统函数不变 10. FIR特点： 单位冲激响应有限长、不存在非零极点、非递归结构
11. FIR三种结构：横截型、级联型、频率采样型（梳状滤波器+谐振器） 12. 频率采样型：
谐振器理论上零极点相互抵消，实际上存在量化误差和有限字长效应 13. 线性相位FIR的h(n)与H(W)特点：
FIR单位冲激响应h(n)为实数，且h(n)序列满足偶对称或者奇对称
N与h(n)同奇或同偶，则H(W)奇对称，N与h(n)一奇一偶，则H(W)偶对称 h(n)偶对称时，为低通特性， h(n)奇对称时，为高通或带通特性
14. 线性相位FIR约束条件：恒延时滤波
恒定相延时：相位特性为过原点的直线 恒定群延时：相位特性为一条直线
h(n)偶对称，则恒定相延时和群延时同时成立
h(n)奇对称，则只有恒群延时成立（附加90度恒定相移） 15. 线性相位FIR零点特点：成共轭对存在，成倒数对存在 16. 线性相位FIR的h(n)与H(z)特点：
h(n)=±h(N-1-n)
17. FIR与IIR相比有以下特点：
FIR可以设计成线性相移，且不需要考虑稳定性问题，可以利用FFT计算 18. IIR设计方法：
冲激响应不变法、阶跃响应不变法、（由S域直接映射到Z域，多值映射，存在重叠） 双线性变换法（由S平面先压缩到中介平面，再映射到Z平面，单值映射，不存在重叠）
19. FIR设计方法：
窗函数设计法（时域截断，存在频谱泄露）
频率采样设计法（频域采样得到H(W), 反变换得到h(n), Z变换得到H(Z)） 20. 常见模拟低通滤波器：（先设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器）
巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器、贝塞尔滤波器
栅栏效应，频谱泄漏，旁瓣效应
栅栏效应：
对采样信号的频谱,为提高计算效率,通常采用FFT算法进行计算,设数据点数为 N = T/dt = T.fs
则计算得到的离散频率点为 Xs(fi) , fi = i.fs/N , i = 0,1,2,…,N/2
这就相当于透过栅栏观赏风景,只能看到频谱的一部分,而其它频率点看不见,因此很可能使一部分有用的频率成分被漏掉,此种现象被称为栅栏效应.
不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。只是当时域采样满足采样定理时，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信号处理失去意义。
减小栅栏效应可用提高采样间隔也就是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力高，被“挡住”或丢失的频率成分就会越少。但会增加采样点数，使计算工作量增加。解决此项矛盾可以采用如下方法：在满足采样定理的前提下，采用频率细化技术(ZOOM），亦可用把时域序列变换成频谱序列的方法。
例如：505Hz正弦波信号的频谱分析来说明栅栏效应所造成的频谱计算误差。 设定采样频率fs=5120Hz，软件中默认的FFT计算点数为512，其离散频率点为 fi = i.fs/N = i.5120/512=10×i ， i= 0，1，2，…，N/2
位于505Hz 位置的真实谱峰被挡住看不见，看见的只是它们在相邻频率500Hz或510Hz处能量泄漏的值。
若设 fs=2560Hz，则频率间隔df=5Hz，重复上述分析步骤，这时在505位置有谱线，我们就能得到它们的精确值。从时域看，这个条件相当于对信号进行整周期采样，实际中常用此方法来提高周期信号的频谱分析精度。
频谱泄露：
截断信号时域上相当于是乘以了rectangular window，于是造成了频谱泄漏的问题。 在帖子上看到的解释：
泄漏的原因来自两方面第一输入频率不是fs/n的整数倍，因为dft只能输出在fs/n的频率点上的功率，所以当输入频率不在fs/n的整数倍时，在dft的输出上就没有与输入频率相对应得点(dft输出是离散的)，那么输入频率就会泄漏到所有的输出点上，具体的泄漏分布取决于所采用的窗的连续域复利叶变换，对于没有使用窗的，相当于使用了矩形窗，矩形窗在进行连续傅立叶变换在一般的信号与系统书上都有。而对于非矩形窗，窗本身就会产生一定的泄漏，是通过加大主瓣的宽度来降低旁瓣的幅度，通常主瓣的宽度变成了矩形窗的两倍，例如当我们输入一个fs/n的整数倍的输入频率时，经过非矩形窗，dft输出会在两个
fs/n的频点上有功率。
见参考书：lyon的understanding DSP.
旁瓣效应： 补零对频谱的影响：
进行zero padding只是增加了数据的长度，而不是原信号的长度。就好比本来信号是一个周期的余弦信号，如果又给它补了9个周期长度的0，那么信号并不是10个周期的余弦信号，而是一个周期的余弦加一串0，补的0并没有带来新的信息。其实zero padding等价于频域的sinc函数内插，而这个sinc函数的形状（主瓣宽度）是由补0前的信号长度决定的，补0的作用只是细化了这个sinc函数，并没有改变其主瓣宽度。而频率分辨率的含义是两个频率不同的信号在频率上可分，也就要求它们不能落到一个sinc函数的主瓣上。所以，如果待分析的两个信号频率接近，而时域长度又较短，那么在频域上它们就落在一个sinc主瓣内了，补再多的0也是无济于事的。