第七章 单方程计量经济学应用模型
在第一章中已经介绍过，计量经济学模型主要用于结构分析、政策评价、经济预测、理论检验与发展理论，这是从作用的角度讲的。从计量经济学模型的应用领域来讲，可以说无所不在。举例说，一般人们认为，在制度经济学领域，例如经济史的研究，是很难应用计量经济学模型的。然而，1993年诺贝尔经济学奖获得者R.福格尔和D.诺思就是研究经济史的，属新制度经济学派，其获奖原因恰恰是“在经济史研究中的定量研究领域所作出的贡献”。但是，计量经济模型的主要应用领域仍然是生产、需求、消费、投资、货币需求与供给、就业、福利以及宏观经济，本章与下一章将选择其中几个领域作为例子，介绍一些计量经济学应用模型。其目的，一方面是使读者了解在这些应用领域的比较成熟的应用模型；另一方面，也是更重要的，是试图通过这些应用模型的介绍，使读者了解它们是如何发展而来的，即掌握建立与发展计量经济学应用模型的方法论。时代在变，研究对象在变，同一研究对象的自身变化规律在变。已有的模型，有的已经完全没有应用价值了，有的需要发展与改进。但是，那些在模型发展与应用实践中形成的方法论，其价值是永存的。掌握了这些方法论，我们可以去研究新问题，发展新模型。
§5.1生产函数模型
在西方经济学中，生产理论是最重要内容之一；同样，在西方的计量经济学中，生产函数模型的研究与发展始终是一个重要的、最活跃的领域。在我国也是这样。
一、几个重要概念
⒈ 生产函数
⑴ 定义
生产函数是描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表达式。即
Y?f(A,K,L,?) (7.1.1) 其中Y为产出量，A、K、L分别为技术、资本、劳动等投入要素。这里“投入的生产要素”是生产过程中发挥作用、对产出量产生贡献的生产要素；“可能的最大产出量”指这种要素组合应该形成的产出量，而不一定是实际产出量。生产要素对产出量的作用与影响，主要是由一定的技术条件决定的，所以，从本质上讲，生产函数反映了生产过程中投入要素与产出量之间的技术关系。
⑵ 生产函数模型的发展
从20年代末，美国数学家Charles Cobb和经济学家Paul Dauglas提出了生产函数这一名词，并用1899-1922年的数据资料，导出了著名的Cobb-Dauglas生产函数以来，不断有新的研究成果出现，使生产函数的研究与应用呈现常盛不衰的局面。下面列出的是这期间出现的主要成果。
1928年 Cobb, Dauglas C-D生产函数
1937年 Dauglas,Durand C-D生产函数的改进型
1957年 Solow C-D生产函数的改进型 1960年 Solow 含体现型技术进步生产函数 1961年 Arrow等 两要素CES生产函数 1967年 Sato 二级CES生产函数
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1968年 Sato, Hoffman VES生产函数 1968年 Aigner, Chu 边界生产函数 1971年 Revanker VES生产函数 1973年 Christensen, Jorgenson 超越对数生产函数
1980年 三级CES生产函数
在这期间，关于生产函数估计方法的研究成果也很多，在本节中将结合生产函数的估计加以介绍。
⑶ 生产函数是经验的产物
上面列举的生产函数，都是在西方国家发展起来的，当然，作为西方经济理论体系的一部分，它是与特定的生产理论紧密联系的。例如，作为生产函数理论基础的要素价值理论和由此产生的分配理论，都体现在生产函数模型中。那么，这些生产函数模型在中国有无应用价值？事实已经表明，西方国家发展的生产函数模型在中国应用具有一定的合理性。
首先，正如前面已经提及的，生产函数所描述的是投入要素与产出量之间的技术关系。无论何种社会制度，任何生产过程都必须是劳动、技术与生产资料的结合，也就是必须具备一定的投入要素、在一定的技术条件下才能进行生产。生产函数实际上是用数学公式对现实发生的生产过程中的投入要素与产出量之间的技术关系进行拟合，是对生产过程中量的关系的描述。
其次，西方的生产函数并不是西方生产理论的直接推导结果，而是经验的产物，是以数据为样本，反复拟合、检验、修正后得到的。换句话说，如果抛开已有的生产函数模型，用我国的有关数据，也能得到相同或相似的生产函数模型。
当然，我们也不能一味地照搬。例如，在西方生产函数模型的估计方法中，有一类方法是从边际生产力条件出发的，而边际生产力条件并不符合我国的实际情况，所以极少被应用，在本节关于生产函数模型估计方法的介绍中，也不涉及此类方法。再如，对于样本数据的选择，则要从研究对象的实际情况出发。
⑷ 生产函数的一阶齐次性
如果生产函数(7.1.1)中资本、劳动等非技术要素的投入量同时增长λ倍，根据生产理论中规模报酬不变法则，产出量也应该增长λ倍。即
f(?K,?L,?)??f(K,L,?) 称为生产函数的一阶齐次性。但是在实际生产活动中，存在着规模报酬递增或者规模报酬递减的现象，所以并非所有生产函数模型都具有一阶齐次性。 ⒉ 要素替代弹性
在生产函数模型的研究与发展中，要素替代弹性是一个十分重要的概念。所谓要素替代弹性，是描述投入要素之间替代性质的一个量，主要用于描述要素之间替代能力的大小。要素替代弹性是与研究对象、样本区间甚至样本点联系在一起的。所以，在建立生产函数模型之前，需要对要素替代弹性作出假设，不同的假设，会导致差异甚大的生产函数模型。
在引入要素替代弹性的定义之前，需要首先引入如下概念： ⑴ 要素的边际产量
边际产量是指其它条件不变时，某一种投入要素增加一个单位时导致的产出量的增加量。用于描述投入要素对产出量的影响程度。边际产量可以表示为：
MPK??f/?K MPL??f/?L ?在一般情况下，边际产量满足： MPK?0,MPL?0,?
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即边际产量不为负。在大多数情况下，边际产量还满足：
?(MPK)?2f??0
?K?K2?(MPL)?2f??0
?L?L2 …
即边际产量递减规律。
⑵ 要素的边际替代率
当两种要素可以互相替代时，就可以采用不同的要素组合生产相同数量的产出量。要素的边际替代率指的是在产量一定的情况下，某一种要素的增加与另一种要素的减少之间的比例。
用MRSK?L表示K对L的边际替代率，即在保持产量不变的情况下，替代1单位L所需要增加的K的数量。于是有
MRSK?L??K/?L （Y保持不变） 因为边际产量也可以表示为：
MPK??Y/?K MPL??Y/?L所以有
MPL?Y?MPK?L?Y?K? ?K?L于是要素的边际替代率可以表示为要素的边际产量之比，即
MRSK?L?MPL/MPKMRSL?K?MPK/MPL
⑶ 要素替代弹性
将要素替代弹性定义为两种要素的比例的变化率与边际替代率的变化率之比，一般用?表示。则有
??d(K/L)(K/L)d(MPL/MPK) (7.1.2)
(MPL/MPK)一般情况下，要素替代弹性?为一个正数。如果用K替代L，则(7.1.2)式分子大于0；由于L减少，其边际产量MPL增大，而由于K增加，其边际产量MPK减小，于是(7.1.2)式分母也大于0。所以替代弹性?大于0，表明要素之间具有有限可替代性。在特殊情况下，要素之间不可以替代，此时K/L不变，则(7.1.2)式分子等于0，所以替代弹性?等于0。另一种极端情况是，无论要素的数量增加或者减少，其边际产量不变，此时(7.1.2)式分母等于0，替代弹性?为∞，表明要素之间具有无限可替代性。 ⒊ 要素的产出弹性
某投入要素的产出弹性被定义为，当其它投入要素不变时，该要素增加1%所引起的产出量的变化率。是从动态变化的角度衡量生产要素对产出量的影响的指标。如果用EK表示资本的产出弹性，用EL表示劳动的产出弹性，则有：
?YY?Y EL?Y EK??K?fK? K?KY?L?fL? (7.1.3) L?LY一般情况下，要素的产出弹性大于0小于1。
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⒋ 技术进步
从本质上讲，生产函数所描述的是投入要素与产出量之间的技术关系。即是说，同样的投入要素组合，在不同的技术条件下，产出量是不同的。所以在生产函数模型中必须引入技术进步因素。技术进步是一个广泛的研究领域，这里仅就生产函数模型中涉及到的有关技术进步的一些概念略作说明。
⑴ 广义技术进步与狭义技术进步
所谓狭义技术进步，仅指要素质量的提高。例如，由于性能的改进，同样数量的资本在生产过程中的贡献是不一样的；由于文化水平的提高，同样数量的劳动在生产过程中的贡献是不一样的。狭义的技术进步是体现在要素上的，它可以通过要素的“等价数量”来表示。例如，如果一个具有大学文化水平的劳动者对产出量的贡献是一个具有中学文化水平劳动者的3倍，那么就可以将一个具有大学文化水平的劳动者等价于3个具有中学文化水平劳动者，求得“等价劳动数量”，作为生产函数模型的样本观测值，以这样的方法来引入技术进步因素。
所谓广义技术进步，除了要素质量的提高外，还包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的因素，这些因素是独立于要素之外的。在生产函数模型中需要特别处理。
⑵ 中性技术进步
假设在生产活动中除了技术以外，只有资本与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之比为相对资本密集度，用ω表示。即
??EL/EK 如果技术进步使得ω越来越大，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得快，则称之为节约劳动型技术进步；如果技术进步使得ω越来越小，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢，则称之为节约资本型技术进步；如果技术进步前后ω不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹性同步增长，则称之为中性技术进步。
在中性技术进步中，如果要素之比K/L不随时间变化，则称为希克斯中性技术进步；如果劳动产出率Y/L不随时间变化，则称为索洛中性技术进步；如果资本产出率Y/K不随时间变化，则称为哈罗德中性技术进步。
不同的技术进步类型是建立生产函数模型时必须要考虑的重要因素，对生产函数模型将产生重要影响。
二、以要素之间替代性质的描述为线索的生产函数模型的发展
模型是对现实的模拟，生产函数模型是对生产活动中产出量与投入要素组合之间关系的模拟。模型总是建立在一定的假设的基础上的，没有假设，就没有模型。而假设与现实之间是有差距的，差距越小，模型对现实的描述越准确。假设向现实的逼近，导致了模型的不断发展。
生产函数模型的一个基本假设是关于要素之间替代性质的假设，由于该假设不同，导致生产函数的发展，出现了各种不同的生产函数模型。在下面的讨论中我们先只考虑两种要素的情况，最后将问题推广到多要素的情况。同时为了书写简便，我们在讨论模型的发展时，只写出它们的数理形态（即不写出随机误差项）。 ⒈ 线性生产函数模型
如果假设资本K与劳动L之间是无限可以替代的，则产出量Y与投入要素组合之间的关系可以用如下形式的模型描述：
Y??0??1K??2L (7.1.4) 对于该模型，要素的边际产量MPK??1,MPL??2，边际产量之比
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MPK/MPL??1/?2。于是有 d(MPK/MPL)?0
代入(7.1.2)得到???，即要素替代弹性为∞。从(7.1.4)也可以直观地看出，一种要素可以
被另一种要素替代直至减少为0，产出量仍然不变。 ⒉ 投入产出生产函数模型
另一种极端的情况是假设资本K与劳动L之间是完全不可以替代的，则产出量Y与投入要素组合之间的关系可以用如下形式的模型描述：
KL) (7.1.5) ab称为投入产出型生产函数。其中a,b为生产1单位的产出量所必须投入的资本、劳动的数量。由于a,b为常数，所以产出量Y所必须的资本投入量K=aY，劳动投入量L=bY，二者之比K/L?a/b为常数，d(K/L)?0。代入(7.1.2)得到??0，即要素替代弹性为0，资本K与劳动L之间完全不可以替代。
Y?min(, ⒊ C-D生产函数模型
⑴ 模型形式与参数的含义
1928年美国数学家Charles Cobb和经济学家Paul Dauglas提出的生产函数的数学形式为：
Y?AKL (7.1.6) 根据要素的产出弹性的定义，很容易推出：
???YKY?A?K??1L???
?KYK?YLY?AK??L??1?? EL??LYL即参数?、?分别是资本与劳动的产出弹性。那么由产出弹性的经济意义，应该有 0???1， 0???1
在最初提出的C-D生产函数中，假定参数满足????1，即生产函数的一阶齐次性，也就
EK?是假定研究对象满足规模报酬不变。因为 A(?K)(?L)???????AK?L???AK?L?
即当资本与劳动的数量同时增长λ倍时，产出量也增长λ倍。1937年，Durand提出了C-D生产函数的改进型，即取消了????1的假定，允许要素的产出弹性之和大于1或小于1，即承认研究对象可以是规模报酬递增的，也可以是规模报酬递减的，取决于参数的估计结果。
模型(7.1.6)中的待估参数A为效率系数，是广义技术进步水平的反映，在本节中还将对它进行专门讨论。显然，应该有：
A>0
由上可见，C-D生产函数模型的参数具有明确的经济意义，这是它的一个显著特点，是它被广泛应用的一个重要原因。
Cobb和Dauglas利用美国1899-1922年的数据资料为样本，估计模型的参数，得到：
Y?101.KL ⑵ 要素替代弹性
现在来看看模型(5.1.6)对要素替代弹性的假设。根据(7.1.2)式，可以得到：
0.250.75d(K/L) ??(K/L)d(MPL/MPK)
(MPL/MPK)193