近世代数习题解答
第一章 基本概念
1 集合
1.B?A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在A?B时, 才能出现题中说述情况.证明 如下
当A?B,但B不是A的真子集,可知凡是属于A而a?B,显然矛盾; 若B?A,但B不是A的真子集,可知凡属于A的元不可能属于B,故A?B
2.假定A?B,A?B??,A∩B=? 解? 此时, A∩B=A,
这是因为A∩B=A及由A?B得A?A∩B=A,故A?B?A,A?B?B, 及由A?B得A?B?B,故A?B?B,
2 映射
1.A=?1,2,3,??，100?,找一个A?A到A的映射. 解? 此时?1(a1,a2)?1 a1,a2?A ?2(a1,a2)?a1 易证?1,?2都是A?A到A的映射.
2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A的每一个元都是A?A到A的一个元的的象? 解?容易说明在?1之下,有A的元不是A?A的任何元的象;容易验证在?2之下,A的每个元都是A?A的象.
3 代数运算
1.A={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A?A到D的代数运算;是不是找的到这样的D?
解?取D为全体有理数集,易见普通除法是A?A到D的代数运算;同时说明这样的D不
只一个.
2.A??a,b,c?.规定A的两个不同的代数运算. 解?
a
a b c a b c
a
a b c a a a
b b c a
c
c a b
b c
d a a a a a
4 结合律
1.A={所有不等于零的实数}.?是普通除法:a?b? 解? 这个代数运算不适合结合律: (1?1)?2?
2.A={所有实数}.?: (a,b)?a?2b?a?b这个代数运算适合不适合结合律?
解? 这个代数运算不适合结合律
(a?b)?c?a?2b?2c,a?(b?c)?a?2b?4c (a?b)?c?a?(b?c) 除非c?0.
12ab.这个代数运算适合不适合结合律?
, 1?(1?2)?2 ,从而 (1?1)?2?1?(1?2).
3.A={a,b,c},由表
所给的代数运算适合不适合结合律?
解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.
a
a b c a b c
b b c a c
c a b
5 交换律
1.A={所有实数}.?是普通减法:a?b?a?b.这个代数运算适合不适合交换律?
解? 一般地a?b?b?a 除非a?b.
2.A?{a,b,c,d},由表
a b c d
a b c d a b c d b d a c c a b d d c a b
所给出代数运算适合不适合交换律? 解? c?d?d, d?c?a
从而c?d?d?c.故所给的代数运算不适合交换律.
6 分配律
假定:?,?是A的两个代数运算,并且?适合结合律,
?,?适合两个分配律.证明
(a1?b1)?(a1?b2)?(a2?b1)?(a2?b2) ?(a1?b1)?(a2?b1)?(a1?b2)?(a2?b2) 证?(a1?b1)?(a1?b2)?(a2?b1)?(a2?b2) =[(a1?a2)?b1]?[(a1?a2)?b2] =(a1?a2)?(b1?b2)
=[a1?(b1?b2)]?[a2?(b1?b2)]
?(a1?b1)?(a2?b1)?(a1?b2)?(a2?b2)
7 一 一 映射、变换
??? 1.A={所有?0的实数},A?{所有实数}.找一个A与A间的意义映射.
证 ?:a?a?loga 因为a是大于零的实数,所以loga是实数
????????? 即 a?A,而a?A,而且a?b?loga?logb.因此?是A到A的映射.
??又给了一个A的任意元a,一定有一个A的元a,满足loga?a,因此?是A到A的满射.
a?a?loga b?b?logb
?若 a?b, 则 loga?logb.即 a?b?a?b 因此?又是A到A的单射.总之,
??是A到A的一一映射.
????? 2. A={所有?0的实数},A?{所有实数a,0?a?1}. 找一个A到A的满射.
? 证 ?:a?a?sina,容易验证?是A到A的满射.
?1 3.假定?是A与A间的一个一一映射,a是A的一个元.?[?(A)]??
?
?[?(a)]??若?是A的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?
解? ?[?(a)]?a, ?[?(a)]?a未必有意义;当?是A的一一变换时,?[?(a)]?a,?[?(a)]?a.
?1?1?1?1?18 同态
? 1.A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A到A的一个子集A的同态满射?
2 a)x?x b)x?2x c)x?x d)x??x
?证? a) 显然A?{所有?0的实数}.又由于 xy?xy?xy
? 可知x?x是A到A的同态满射.
? b)由于xy?2xy?(2x)(2y) ( 除非xy?0)所以x?2x不是A到A的同态满射.
c)由于xy?(xy)?(x)(y),易知x?x是A到A的同态满射.这里
?0的实数}.
?2222??A={所有
d)一般来说,?xy?(?x)(?y),:所以x??x不是A到A的同态满射 .
?????????2. 假定A和A对于代数运算?和?来说同态，A和A对于代数运算?和?来说同态，证明 A和A对于代数运算?和?来说同态。
?????证: 用?1: a?a 表示A到A的同态满射,?2 a?a 表示A到A的同态满射.
???????? 令?： a?a??2[?(a)1],容易验证?是A到A的满射 a?b??2[?1(a?b)]??2[(a?b)]?a?b
?? 所以?是A和A的关于代数运算?,?来说的同态满射。
9 同构、自同构
1.A={a,b,c},代数运算?由下表给定
a b c
a b c c c c c c c c c c
找出所有A的一一变换.对于代数运算?来说,这些一一变换是否是A 的子同构.
证 : 所有A的一一变换有6个 ?1:a?a b?b c?c ?2:a?b b?a c?c ?3:a?b b?c c?a ?4:a?c b?b c?a ?5:a?c b?a c?b ?6:a?a b?c c?b 容易验证?1及?2是A的子同构.
2.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的子同构 (映射x?x除外)
证 ?:x?2x,对普通加法来说是A的一个子同构,验证这一点是容易的.
?3.A?{所有有理数};A的代数运算是普通加法.A?{所有?0的有理数}
?A的代数运算是普通乘法.
? 证明 对于给的代数运算来说,A与A间没有同构映射存在(现决定 0在一个同构映射之下的象)
? 证: 设A与A间有同构映射?存在,先看在?之下0的象
????????0?a0 再看在?之下某一元a的象a?a , 那么 0?a?a0a . 但
?0?a?a. 所以
?a0a?a a?0, 故必a0?1, 即0?1
对?1?A来说,在?之下设有x?0?A, x??1 由于?是一同构映射,于是x?x?2x?1?(?1)(?1) 但又知,0?1,故2x?0,从而x?0,与x?0矛盾.>
10 等价关系与集合的分类
1.A={所有实数},A的元间的关系?以及?是不是等价关系? 解? >不是
, 因为a不大于a ? 不是等价关系, 因为2?1但1不大于等于2.
2.有人说:假如一个关系R适合对称和推移律,那么它也适合 反射律.他的推论方法是:因为R适合对称律
aRb?bRa 因为R适合推移律 aRb,bRa?aRa 这个推论方法有什么错误?
证: 这里aRa的a是受对称律,推移律约束的而不是集合中的任意a.今举一例 说明上述推论方法是错误的:
比如:A={?,?
.容易验证这一关系R适合对称律,
推移律,但不适合反射律.
3.仿照例3规定整数间的关系 a?b(?5)
证明你所规定的一个等价关系,并且找出模?5的剩余类.
证 : 规定a?b(?5) 当而且只当?5a?b时, 因为?5a?b
2},是” 互补”是A的元间的一个关系
所以a?a(?5) ?5a?b??5b?a a?b(?5)?b?a(?5)
?5a?b,b?c(?5)?a(?5),a?b(?5),b?c(?5)?a?c(?5) 因而是等价关系,对模?5的剩余类: [0]?{?,?10,?5,0,5,10,?}
[1]?{?,?9,?4,1,6,11,?} [2]?{?,?8,?3,2,7,12,?} [3]?{?,?7,?2,3,8,13,?} [4]?{?,?6,?1,4,9,14,?}