复变函数期末复习提要
第3章：初等函数
⒈理解ez,sinz与cosz的定义及其主要性质； ⒉知道支点概念。 幂函数
定义3.1 设z?x?iy，n为正整数，称w?z为幂函数． 根式函数
定义3.3 设z?rei?(?0)，称满足
w?z （n为不小于2的正整数）
的w为z的n次根式函数，或简称根式函数，记作
nnw?nz
⑴根式函数为多值函数，它不是解析函数．
对于每一个确定的z?rei?(?0)，都有n个不同的w与之对应，即有 w0?nren w1? ?
ni?rei??2πn （3.1）
??2(n?1)πnwn?1?reni
因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．
⑵根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n个单值函数．
定义3.4 设函数w?F(z)为多值函数，若当变点z从起始点z0出发绕一条包围点a的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点z0时，函数F(z)从一个支变到另一个支，则称点
a为函数F(z)的支点．
⑶根式函数w?nz的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数． 指数函数
定义3.5 设z?x?iy，称
ez?ex(coys?i?siny) （3.2） 为指数函数，其等式右端中的e为自然对数的底，即e?2.71828?． ⑴对任意二复数z1?x1?iy1与z2?x2?iy2,有
ez1?ez2?ez1?z2
zzz ⑵e在复平面上为解析函数，且有(e)??e ⑶对任意一复数z?x?iy，有
zx e?e,Arg(z)?y?2kπ （k：整数）
⑷e只以2kπi(k为整数)为周期． ⑸ez1z?ez2的充分必要条件是
z2?z1?2kπi （k为整数）
z ⑹lime不存在．
z?? 1
⑺设z?x?iy，若y?0，则ez?ex；若x?0，则
eiy?cosy?i?siny
这便是欧拉公式． ⑻若z?x?iy，则ez?ez．
例1 试证e?z?1ez． 证：设z?x?iy，由定义得及（实）三角函数的性质得 e?z?e?x[cos(?y)?i?sin(?y)]
?cosy?i?sinyex
?(coys?i?siny)(coys?i?siny)ex(coys?i?siny) ?co2sy?sin2yex(coys?i?siny)
?1ez
对数函数
定义3.6 设z?0,?，称满足
ew?z
的w为z的对数函数，记作
w?Lnz
令z?rei?,z?0,?,w?u?iv由定义3.6可得
w?Lnz
?lnr?i(??2kπ)
?lnz?iArzg （k：整数） 即对于每一个z?0,?，有无穷个不同的w，即有 ? ? ?
w2?lnz?i(??4kπ) w1?lnz?i(??2kπ)
w0?lnz?i? （3.3）w?1?lnz?i(??2kπ) w?2?lnz?i(??4kπ)
? ? ?
与之对应，因此，对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数． 例2 计算Ln(1?i)．
解：
Ln(1?i)?ln1?i?iArg(1?i)
2
1π ?2ln2?i(4?2kπ) （k：整数） 三角函数
定义3.7 设z为复数，称
eiz?e?izeiz?e?iz2i 与2
分别为z的正弦函数和余弦函数，分别记作
sinz?eiz?e?iz2i 与 cosz?eiz?e?iz2 正、余弦 函数的性质：
⑴sinz与cosz在复平面解析，且有
(sinz)??cosz,(cosz)???sinz
⑵三角学中实变量的三角函数间的已知公式对复变量的三角函数仍然有效：
例如，由定义可推得
sin2z?cos2z?1 sin(?2?z)?cosz
cos(?2?z)??sinz
sin(z1?z2)?sinz1cosz2?cosz1sinz2
cos(z1?z2)?cos1cosz2?sinz1sinz2
sin(?z)??sinz cos(?z)?cosz
⑶
cosz?isinz?eiz
⑷sinz仅在z?kπ处为零，cosz仅在z?π2?kπ处为零，其中的k为整数．
⑸sinz与cosz均以2kπ（k为整数)为周期；
⑹命题“若z为复数，则sinz?1,cosz?1”不真．
⑺limz??sinz与limz??cosz均不存在．
例3 试证ei2z?1?2isinzeiz
证：由定义
eiz?e?izsinz?2i?ei2z?12ieiz 可得
ei2z?1?2isinzeiz
例4 计算cos(1?i)的值．
解 由定义得
3
ei(1?i)?e?i(1?i)ei?1?e?i?1cos(1?i)??
221?111?i(e?1?e)sin1 ?(e?e)cos22 4