2019年高考一轮复习 第九讲 函数与方程 教材版本 知识点 复习目标 复习重点 复习难点 全国通用 函数图像的做法，函数图像的应用 掌握函数图像的做法，能够灵活应用函数图像解决函数的相关问题 函数图像的应用 函数图像的应用 课时说明（建议） 120分钟 一、自我诊断 知己知彼
1．已知函数f?x??{x?3,x?3??x?3?,x?32 ，函数g?x??b?f?3?x?，其中b?R，若函数y?f?x??g?x?恰有4个零点，则实数b的取值范围是( ) A. ??11?11??11???,??? B. ??3,?? C. ???,?? D. ??3,0?
4?4??4???【答案】B
【解析】分析：构造新函数F?x??f?x??f?3?x?，画出函数F?x?的图象与y?b有四个交点，即可求得实数b的取值范围.
详解：由题意得，令y?f?x??g?x??f?x??f?3?x??b?0，即f?x??f?3?x??b，
?x2?x?3,x?0构造函数F?x??f?x??f?3?x??{?3,0?x?3 ，
?x2?7x?15,x?3画出函数F?x?的图象如图所示，其中A,B的坐标分别为??,??1?211??711??,?,??， 4??24?故当b???3,???11??时，与y?b有四个交点，故选B. 4? 1
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点睛：本小题主要考查分段函数的图象与性质,考查零点问题的求解方法，题目所给函数f?x?是一个分段函数，那么函数f?3?x?也是一个分段函数，所以两个结合起来，将函数分成三个部分，将三段函数解析式求解出来后画出图象，即可得到b的范围，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想方法的应用.
?1?x?1,x?12．函数f?x???4 ，则方程f?x??ax恰有两个不同的实根，实数a取值范围是（ C
??lnx,x?1A. ?0,? B. ?0,
??1?e???1??11??11? C. D. ,,? ????4??4e??4e?【解析】画出函数f?x?的图象如下图所示,由图可知,要直线y?ax与函数f?x?有两个交点,当y?ax平行y?111x?1时,显然有两个交点,此时a?.,当a?时,只需求出当直线y?ax和曲线y?lnx相切时444的斜率即可,由于相切时交点只有1个,结合选项,排除D选项,故选C.
【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质,考查分段函数与直线交点个数的判断方法,利用交点个数来推参数的取值范围.解决这类题目,首先根据分段函数的解析式画出函数的图象.然后将y?ax画在图象上,转动到特殊的位置,比如本题中和y?1x?1平行的位置,还有和曲线相切的位置,由此排除 42
3．已知x1是方程x?2x?4的根， x2是方程x?log2x?4的根，则x1?x2的值是______________． 【答案】4
【解析】∵x?2x?4，∴2x?4?x，∴x1是y?2x与y?4?x交点的横坐标． 又∵x?log2x?4，∴log2x?4?x，∴x2是y?log2x与y?4?x交点的横坐标． 又y?2x与y?log2x互为反函数，其图象关于y?x对称， 由{y?4?xy?x 得x?2，∴
x1?x22?2，∴x1?x2?4． ?9x?t?3x， g?x??2x4．已知f?x??12x?1，若存在实数a，f?a??f?b??0，则实数t的取值范围是__________．
【答案】?1，???
【解析】∵g??x??2?x?11?2x2x?2?x?1=1?2x??12x?1??g?x?， ∴函数g?x?为奇函数， 又g?a??g?b??0， ∴a??b．
∴f?a??f?b??f?a??f??a??0有解， 即9a?t?3a?9?a?t?3?a?0有解，
即t?9a?9?a3a?3?a有解．
令m?3a?3?a?m?2?，则9a?9?a3a?3?a?m2?2m?m?2m， ∵??m??m?2m在?2,???上单调递增， ∴??m????2??1．
∴t?1．故实数t的取值范围是?1,???．
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b同时满足g?a??g?b??0和
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点睛：
（1）解题时要正确理解题意，其中得到a??b是解题的关键．然后将问题转化为方程
f?a??f??b??f?a??f??a0?有解的问题处理．
（2）解决能成立问题的常用方法是分离参数，分离参数后可将问题转化为求具体函数值域的问题．解题时注意以下结论的利用：“a?f?x?能成立”等价于a的范围即为函数f?x?的值域，“a?f?x?能成立”等价于“a?f?x?min”．
5．已知f?x?是以2e为周期的R上的奇函数，当x??0,e?， f?x??lnx，若在区间?e,3e，关于x的方程f?x??kx恰好有4个不同的解，则k的取值范围是__________． 【答案】???,????,?
e3ee????1???11???【解析】由题可得函数在
??e,e?上的解析式为
??ln??x?,-e ?lnx,?0 ??恰好有4个不同的解，当k?0时，由图可知x的方程f?x??kxlne?01?k???11e?0e? ,??k?, ?3ee?k?ln?3e?2e??0?1?3e?03e? 4 ，同理可得，当k?0时， k??, 1e即答案为???,????,? e3ee??1???11??? 二、温故知新 夯实基础 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y?f?x?(x?D)，把使f?x??0的实数x叫做函数y?f?x?(x?D)的零点． (2)几个等价关系 方程f?x??0有实数根?函数y?f?x?的图象与x轴有交点?函数y?f?x?有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y?f?x?在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f?a??f?b??0，那么，函数 ??y?f?x?在区间?a,b?内有零点，即存在c??a,b?，使得f?c??0，这个__c_也就是方程f?x??0的 根． 2．二分法 对于在区间a,b上连续不断且f?a??f?b??0的函数y?f?x?，通过不断地把函数f?x?的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象与零点的关系 2?? 二次函数Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y?ax2?bx?c(a?0)的图象 与x轴的交点 零点个数 (x1,0)，(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0 5