数的开方-----平方根与立方根
一、知识点和方法概述 1、平方根：（1）平方根的定义：（2）开平方： （3）平方根的意义：（4）平方根的表示： （5）求一个数的平方根的方法：（6）算术平方根：
注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2、立方根：（1）立方根的定义：（2）开立方：（3）立方根的意义：（4）立方根的表示：（5）求一个数的立方根的方法：
注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 3、n次方根：（1）n次方根的定义：（2）开n次方：（3）n次方根的意义：（4）n次方根的表示：（5）求一个数的n次方根的方法： 二、二次根式： 1、二次根式的定义：式子
(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如
不是最简二次根式，因被开方数
中含有4是可开得尽方的因数，又如 ， ， ..........都不是最简二
次根式，而 ， ，5 ， 都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如
,
,
就是同类二次根式，因为
=2
，
=3 ，它们与 的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如
，互为有理化因式。
与
，a+
与a-
，
-
与
+
2、二次根式的性质：1.
平方仍得这个数，即：(
(a≥0)是一个非负数, 即 ≥0; 2.非负数的算术平方根再
)2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即
=|a|= =
·
4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即
（a≥0,b≥0）。5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的
算术平方根，即 = （a≥0,b>0）。（3）二次根式的运算法则：化简二次根式的常用
方法：因式分解法、公式法、换元法、平方法、倒数法、利用非负数的性质等. 实数
一、 基础知识
1．无理数的定义（ ）叫做无理数
2．有理数与无理数的区别：有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ）或（ ）也都是有理数。而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。 3.常见的无理数类型
1
(1)一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··· (2)看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数
逐次加1)。
(3)有特定意义的数，如：π=3.14159265···
(4).开方开不尽的数。如：3,35。
4．算术平方根。 （1） 定义： （2） 我们规定：
（3） 性质：算术平方根a具有双重非负性：
① 被开方数a是非负数，即a≥0.
② 算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 也就是说，（ ）的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是（ ），（ ）没有算术平方根。 5．平方根 （1） 定义：
（2） 非负数a的平方根的表示方法:
（3） 性质： 一个（ ）有两个平方根，这两个平方根( )。
( )只有一个平方根，它是( )。 ( )没有平方根。 说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意： a≠±a。 6.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：①定义不同 ②个数不同：
③ 表示方法不同：
联系：①具有包含关系：
②存在条件相同：
③ 0的平方根和算术平方根都是0。 7．开方运算：
（1） 定义：
① 开平方运算： ② 开立方运算：
（2）平方与开平方式（ ）关系，故在运算结果中可以相互检验。
2
8．a的算术平方根的性质
①当a≥0时，a2=（ ） ② 当a<0时，a2=（ ） 一般的，当a<0时，a=-a.
我们还知道，当a≥0时，│a│=a；当a<0时，│a│=a. 综上所述，有
a (a≥0) a=│a│=
-a (a<0)
从算术平方根的定义可得：(a)=a (a≥0) 9．立方根
（1） 定义：______________________________. （2） 数a的立方根的表示方法:_________
（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关：_________
2
222
（4） 两个重要的公式
(33)3?a(a为任何数）3a?a(a为任何数）3
10．实数
1、概念：________和________统称为实数。 2、分类 按定义
_______ ________ _______ ________ ___ 有限小数或________小数 _______ 实数 ________ _______
_________ ________ 无限不循环小数
_________
正实数
按大小 0
负实数
3、实数的有关性质
⑴a与b互为相反数〈=〉a+b=0 ⑵a与b互为倒数〈=〉ab=1
⑶任何实数的绝对值都是非负数，即a≥0 ⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a=?a
⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.
实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点是一一对应的关系 实数的大小比较
1． 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
2． 正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。 实数中的非负数及其性质
4、在实数范围内，正数和零统称为非负数，我们已经学过的非负数有如下三种形式 ⑴任何一个实数a的绝对值是非负数，即a≥0 ⑵任何一个实数的平方是非负数，即a≥0；
⑶任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即a≥0 5、非负数有以下性质 ⑴非负数有最小值零
⑵有限个非负数之和仍然是非负数
⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。 二次根式的两条运算法则
2a?b?ab(a?0,b?0)
ab?a（a?0,b?)b
二、典型例题
一、填空题：
3
1、?3的倒数是 的负的平方根；25的算术平方根是 ；立方根等于3的数是 ；327 的平方根是 ；81的四次方根是 ； 若一个数的五次方为-32，则这个数为 .
2、若2m?4与3m?1是同一个数的平方根，则m? .
3、设x为正整数，若x?1是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是 . 4、?4的算术平方根的立方根的相反数是 .
5、已知a,b为实数，a?5?210?2a?b?4，求a= ；b= .
a?2b?312a?3b为a?3b的算术平方根，B?2a?b?2a2?b2?3为a2?b2?3的算6、若A?术平方根，则A+B的平方根为 .
2n7、若x?4y?3，(4x?3y)??8，则(x?y)（n为正整数）的值为 . 38、若x?2y?9与x?y?3互为相反数，则x? ，y? . 9、已知xy?0，则二次根式x?10、把(x?5)yx2化简后为 .
1的根号外面的因式移到根号内得 . 5?x11、已知a?b?3?2,b?c?3?2，则2(a2?b2?c2?ab?bc?ca)的值为 . 12、设a?10,b?7?1,c?3?2，则a,b,c的大小关系是 . 13、已知M?101?100,N?99?98，则M与N的大小关系是 . 14、若a为自然数，b为整数，且满足(a?3b)2?7?43，则a? ，b? . 二、解答题：
x215、已知x?2?1，求x?1?的值.
x?1
16、已知：y?x?
a2?2a?117、已知a?，求的值. 2a?a2?3x?y?2xyyx?4yx11??(?)的值. ??x?8，求代数式
xy22x?2yx?xy1
2n22n18、已知m?，求(1?2)?(1?)的值. ,n?m?nm?n22?32?3
1119、先化简，再求值：[
4(a?b)(a?b)?a?bab(b?a)]?a?bab，其中，a?3,b?4.
4
数的开方提高
1求2y?9?5?y?y?5的值。 若x?3+|y-12|=0，求xy的平方根
112
2已知y 2y-1 3设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： 6333633x(y?x)?6x(z?x)?6y?x?x?z，则代数式x3?y?z3?3xyz的值 是??? （ ）A、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算 4. 如果?x2?2x?1是实数，那么x= 5.已知4.25=1000,0.00425=1000，求 x y 11?的值 xy6.已知1.234≈1.523，则152.3的平方根是 ，0.01523的平方根是 . 7已知4.53≈2.128，45.3≈6.731，则0.00453≈ . 8已知5.34≈2.31，x≈231，则x= . 9.如果n为自然数，m是n的倒数的相反数，那么2n?1mn= . 10. 已知 2 a+b=,22ab=3,求a2?b2的值. 11.如果实数a<0，b<0，且a2>b2，那么a b.（填“>”或“>”） 23（a、b均为有理数），那么a= ，b= . 5213(1)设a?6?2,b?3?1,c?，则a、b、c之间的大小关系是（ ） (2) 3?112.如果3+a3=2b-比较与的大小 1,x,x2中，最大的数是（ ） 78的整数部分是 x15.若规定两数a，b通过“*”运算得到2ab，即a*b=2ab （1）求2*32的值（2）若不论x是什么数时，总有a*3x?3x，求a的值. 116.已知a1=?,从第2个数起，每个数都等于“1”与它前面的那个数的差的倒数，求（1） 214.已知0 17(1)填空：若a ＝1.7，则a＝ ；若a ＝2.5，则a＝ ；（ ）=7、 (2)若1?2a?1与8?4b?4互为相反数，求a、b的值 2 23?a?（3） 111与3?a?是相反数，计算a?= ． aaa18数轴上作出?2的对应点A, ?5的对应点B (1) 求AB的对称中心C (2)D表示－2 求A,B分别以D对称中心的对应点E,F 19一个自然数的算术平方根为m，则相邻的下一个自然数的算术平方根是（ ） Ａ、m?1 Ｂ、m2?1 Ｃ、m+1 Ｄ .m+1 20某工厂计划两年后，使产值翻两番，求该厂每年产值平均增长率是多少 21.若规定：①? m ?表示大于m的最小整数，例如： ? 3 ??4，??2.4 ???2； ②? m ?表示不大于m的最大整数，例如： ? 5 ??5，??3.6 ???4. 则使等式2? x ??? x ??4成立的整数．．x? ． 5