专题跟踪训练(六)
1．(2015·云南一检)已知函数f(x)＝ln(1＋2x)－(1)求f(x)的单调区间；
b(2)若a>0，b>0，求证：ln 2a－ln b≥1－2a. 1
[解] (1)由2x＋1>0得x>－2，
?1??∴f(x)的定义域为－2，＋∞?. ??
x
. 1＋2x
x
∵f(x)＝ln(1＋2x)－，
1＋2x
1＋2x－2x1＋4x2
∴f′(x)＝－＝. 1＋2x?1＋2x?2?1＋2x?211
由f′(x)>0得x>－4，由f′(x)<0得x<－4. ?1???， －，＋∞∴f(x)的单调递增区间为4??
1??1
f(x)的单调递减区间为?－2，－4?.
??
1
(2)证明：由(1)知：当x＝－4时，f(x)取得最小值．
?1?1
∴f(x)的最小值为f?－4?＝2－ln 2.
??
?1?11
∴当x>－2时，f(x)≥f?－4?，即f(x)≥2－ln 2.
??
∵a>0，b>0， a－ba11
∴2b＝2b－2>－2. ?a－b?1a－b
?≥－ln 2， 设x＝2b，则f?
?2b?2