3.1.3 导数的几何意义
学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．导数的几何意义 (1)切线的定义
设点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且
PT的斜率k＝lim
Δx→0
(2)导数的几何意义
－xn－x0
＝f′(x0)．
函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ [提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线线．
2．导函数的概念
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是
曲线只有一个交点趋于确定位置的直
x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim
Δx→0＋Δ
－Δx. [基础自测]
1．思考辨析
(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点． (2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．
(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线． (4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 C．与x轴垂直
B．与x轴平行或重合 D．与x轴斜交
( ) ( ) ( ) ( )
B [由f′(x0)＝0知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以切线与x轴平行或重合．] 3．如图3-1-5所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )
【导学号：97792127】
图3-1-5
1A． 2C．2
B．1 D．0
C [由题意知f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3，则f(5)＋f′(5)＝2.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求曲线的切线方程 1?1? (1)y＝－在点?，－2?处的切线方程是( ) x?2?A．y＝x－2 C．y＝4x－4
3
1
B．y＝x－
2D．y＝4x－2
(2)已知曲线y＝x－x＋2，则曲线过点P(1,2)的切线方程为__________． 1
[思路探究] (1)先求y′|x＝，即切线的斜率，然后写出切线方程．
2
(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P(1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．
11114Δx
[解析] (1)先求y＝－在x＝处的导数：Δy＝－＋＝. x2111＋2Δx
＋Δx22
y′|x＝＝lim
1
2
Δy4＝lim ＝4. Δx1＋2ΔxΔx→0Δx→0
?1?所以切线方程是y＋2＝4?x－?，即y＝4x－4.
?2?
(2)设切点为(x0，x30－x0＋2)，则得y′|x＝x0 ＝lim Δx→0
＋Δ
2
－
＋ΔΔx
＋2]－0－x0＋3
＝lim ((Δx)＋3x0Δx＋3x20－1)＝3x20－1.
Δx→0所以切线方程为y－(x30－x0＋2)＝(3x20－1)(x－x0)． 将点P(1,2)代入得：
2－(x30－x0＋2)＝(3x20－1)(1－x0)，
12
即(x0－1)(2x0＋1)＝0，所以x0＝1或x0＝－，
2
?119?所以切点坐标为(1,2)或?－，?，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y－2＝2(x－1)， ?28?
即2x－y＝0，
1911?119?当切点为?－，?时，切线方程为y－＝－x＋， 842?28?即x＋4y－9＝0，所以切线方程为2x－y＝0或x＋4y－9＝0. [答案] (1)C (2)2x－y＝0或x＋4y－9＝0 [规律方法] 1.求曲线在某点处的切线方程的步骤 2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤 (1)设切点(x0，y0) (2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0) (3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0) (4)写出切线方程． [跟踪训练] 2
1．(1)曲线y＝f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为__________．
x
＋Δ
－Δx
22
－x＋Δxx
＝lim ΔxΔx→0
x＋2y＋4＝0 [y′＝lim
Δx→0
－2·Δx
＋Δ2
＝lim ＝－，
Δxx2Δx→0
因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率k＝－
2
－1＝－.
2
1
由点斜式可得切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.]
2(2)试求过点P(3,5)且与曲线y＝x相切的直线方程.
【导学号：97792128】
[解] 设所求切线的切点为A(x0，y0)． ∵点A在曲线y＝x上， ∴y0＝x20，又∵A是切点，
2
2
y′＝lim
Δy
＝lim
Δx→0ΔxΔx→0
＋ΔΔx
－x2
＝2x.
∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0. ∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点， y0－5x20－5
∴其斜率为＝. x0－3x0－3x20－5
∴2x0＝，
x0－3解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.
求切点坐标 在曲线y＝x上求一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°.
分别求出满足上述条件的点的坐标．
[思路探究] 先求出函数的导函数f′(x)，再设切点(x0，y0)，由导数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为f′(x0)，然后根据题意列方程，解关于x0的方程即可求出x0，又点(x0，y0)在曲线y＝x上，易得
2
2y0.
[解] 设y＝f(x)，则f′(x)＝lim Δx→0Δx)＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝4，即P(2,4)．
11
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为，所以2x0·＝－1，解得x0＝
3339?39?－，所以y0＝，即P?－，?.
24?24?
11
(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x0＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即
24
＋Δ
Δx
－
＝lim
Δx→0
＋ΔΔx
－x2
＝lim (2x＋Δx→0
?11?P?－，?. ?24?
[规律方法] 解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等. [跟踪训练] 2．已知抛物线y＝2x＋1，求
2
(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? [解] 设切点坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx) ∴
Δy
＝4x0＋2Δx Δx
2
2
Δy
∴y′|x＝x0＝lim ＝lim (4x0＋2Δx)＝4x0.
Δx→0ΔxΔx→0(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， 该点为(1,3)．
(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， ∴斜率为8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2， 该点为(2,9)．
导数几何意义的应用 [探究问题] 1．函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？ 提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大．
2．函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？ 提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小．
如图3-1-6，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分
的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )
图3-1-6
[思路探究] 根据面积S增加的快慢情况判断S＝f(x)的图象形状． [解析] 函数的定义域为(0，＋∞)，
当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；
当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，