《损伤力学基础》课程作业一(崔玮 0820020163)

《损伤力学基础》课程作业一：

损伤力学基本概念论述

班姓学

级 名 号

建筑工程系2班

崔玮 0820020163 陈建兵 副教授

授课教师

2009-12-7

目 录

一 阐述Lemaitre应变等效原理及其应用 ................................................................. 1

1.1 Lemaitre应变等效原理的描述 ....................................................................... 1 1.2 Lemaitre应变等效原理的应用 ....................................................................... 2 二 阐述热力学第一定律及热力学第二定律原理及其应用...................................... 2

2.1 热力学第一定律基本原理.............................................................................. 2 2.2 热力学第二定律—Clausius-Duhem不等式 .................................................. 2 2.3 热力学第二定律在损伤力学中的应用.......................................................... 3 三 阐述弹性力学与塑性力学的关系.......................................................................... 4

3.1 全量模型.......................................................................................................... 4 3.2 增量模型.......................................................................................................... 5 四 阐述损伤力学与弹塑性力学的关系，并说明塑性变形与损伤的耦合效应...... 5

4.1 损伤力学与塑性力学的比较.......................................................................... 5 4.2 损伤与塑性变形的耦合.................................................................................. 7

4.2.1 耦合情况说明........................................................................................ 7 4.2.2 不耦合情况说明.................................................................................... 8

一 阐述Lemaitre应变等效原理及其应用

1.1 Lemaitre应变等效原理的描述

Lemaitre应变等效原理可以说是损伤力学的一块基石，在后续章节一些模型的建立及理论推导等都要应用到Lemaitre应变等效原理。其完整描述是：对于任何受损伤材料，其在单轴或多轴应力状态下的变形状态都可以通过原始的无损材料本构定律来描述，只要在本构关系方程中用有效应力来替代通常的Cauchy应力。进一步的研究表明，仅在各向同性损伤条件下，应变等效原理才正确。

在物体中取出一微元体，假设横截面积为A0，截面的一部分由于损伤产生了缺陷，受损面积为A，即实际面积为A0-A，如图1所示。考虑各向同性损伤，假设缺陷在各个方向均匀分布，定义损伤变量为：

D?A 0≤D≤1 （D为一标量） (1) A0损伤产生后，实际Cauchy应力仅作用于未损伤截面上，此时有效应力为：

??? (2)

1?D受损部分A

无损部分A0-A

?图1 有效应力原理

?

注：图中为便于理解，将受损部分集中画在一块区域上，实际情况中损伤应视作均匀散布在整个横截面积上，否则会产生扭矩作用。

由此可见，假设未损伤面积上材料仍服从无损伤材料的应力应变关系，只需把无损材料中的Cauchy应力?换为有效应力?，即可获得有损材料的应力应变关系，这一假设即为Lemaitre应变等效原理。

以单向拉伸的线弹性材料为例，无损材料的本构方程为

??? (3)

E式中：E—无损材料的弹性模量。

按照应变等效原理，有损材料的本构方程为

??? (4)

E

1

式(2)代入式(4)中，可得

??(1?D)E??E*? (5)

式中：E*—受损材料的弹性模量。由于在损伤状态D>0，E*

1.2 Lemaitre应变等效原理的应用

(1) 在建立无损材料自由能势?(?e,qp,d)与有损材料自由能势?0(?e,qp)的关系时，根据Lemaitre应变等效原理可得出：

?(?e,qp,d)?(1?d)?0(?e,qp) (6)

之后才能根据热力学第二定律进一步推导出损伤准则及损伤演化法则。

(2) 在建立损伤力学基本方程时，引入损伤变量D，将Helmholtz自由能势表示为：

???(?ij,D) (7)

并利用热力学第二定律及等温绝热条件可得出损伤材料的应力应变本构关系：

?ij???(?ij,D) (8) ??ij所以说在建立损伤力学本构模型基本方程，确定损伤准则及损伤演化法则时都用到了Lemaitre应变等效原理，主要是通过引入损伤变量将Cauchy应力转化为有效应力的概念。

二 阐述热力学第一定律及热力学第二定律原理及其应用 2.1 热力学第一定律基本原理

热力学第一定律即能量守恒定律，它指出物体能量的增加量恒等于输入的能量。在热力学封闭系统中，具体指系统内能量关于时间的变化率等于外力所做功率与外界输送给系统的热能变化率之和，即：

??E??W?q (9) K?为动能变化率，E?为内能变化率，式中：KW为外力做功功率，q为热能变化率。

利用散度定理和柯西公式，可得热力学第一定律的微分形式：

?ij????hi,i?0 (10) ???ij??e?为内能密度变化率，hi,i为外界流入热量。 式中：e该公式的物理意义为：单位体积的内能增量等于该体积内的应变能增量加上被供给的热量再扣除通过边界流出的热量。 2.2 热力学第二定律—Clausius-Duhem不等式

热力学第二定律主要用于描述不可逆的热力学系统，它给出了能量转化过程的性质和发展方向，是关于有限空间和时间内，一切和热运动有关的物理、化学

2

过程具有不可逆性的经验总结。

在热力学第二定律中存在两个基本的状态函数：绝对温度T和熵S，其中绝对温度T是经验温度的函数，恒为正值；熵S是一个与温度变化有关、描述系统变化无序程度的状态变量。系统的熵的变化dS由外熵增量dSe和内熵增量dSi两部分组成，即：

dS?dSe?dSi (11)

外熵增量是总的熵增量中的可逆部分，内熵增量是总的熵增量中的不可逆部分。

若熵和热量都是时间的可微函数时，将熵增量对时间t求导可得变化率形式 的熵不等式：

dS1dQ? (12) dtTdt再结合散度定理可得出关于连续介质的热力学第二定律不等式：

h?ij)?0 (13) ???g?(?e???ij??TsT2.3 热力学第二定律在损伤力学中的应用

材料损伤是一个不可逆的热力学过程，所以在建立损伤材料的本构关系模型及相关准则时必须满足热力学第二定律不等式。当不考虑沿物体表面的热耗散过程，即仅考虑等温的纯粹热力过程时，公式13可简化为：

?????0 (14) ?:?材料Helmholtz自由能势可分解为弹性和塑性两部分：

?(?e,qp,d)??e(?e,d)??p(qp,d) (15)

将上式微分并代入公式14可得

??e?????ppep????pq?)?0 (16) (??e):εd?(?:ε?ε?d?q(1) 作为一种不可逆的能量耗散过程，损伤演化必须满足热动力学原理给出的限制条件，即公式16中的第二项损伤耗散不等式：

?????0 (17) ??d??d?Y?d?d式中：Y为损伤能释放率。

根据损伤能释放率可以进一步给出损伤准则。

(2) 因塑性变形是一种不可逆的能量耗散过程，它必须满足不可逆热动力学原理的限制条件，即公式16中的第三项塑性耗散不等式：

??pp??pq??0 (18) ????:ε?qpp根据Lemaitre应变等效原理将Cauchy应力换为有效应力可得：

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