中国人口增长预测
摘要
本文从中国人口的实际情况和人口增长的特点出发，根据题目和中国统计年鉴中的相关数据，建立了两个关于中国人口增长的数学模型，并对中国人口做出了分析和预测。
模型一：利用中国统计年鉴中 2000—2005 年人口的数据，运用灰色理论的基本原理建立 GM(1,1) 模型。该模型利用离散数据列进行生态处理，建立动态的微分方程，对我国近5年、10年、20年的总人口分别进行了预测。又根据中国人口城乡分布不同且总趋势也不同的特点，把全国人口分为城市人口、城镇人口、乡村人口三部分分别进行灰色预测。结果表明，该模型较好的反映并预测中国人口短中期和长期的变化情况。
模型二：按人口年龄结构特征，将人口分为幼年（0—14岁）男女、中年（15—49岁）男女、老年（50岁以上）男女。各年龄段的人口变化是由出生率、死亡率和转化为其他年龄段的转化人数决定的。根据各年龄段人口数量变化特点，对各年龄段转化人数引入转化因子，改进马尔萨斯模型，附带出生率、死亡率、生育率、出生性别比率等约束条件，建立了新的具有年龄结构的人口增长模型。结合我国人口的特点，运用已知数据和利用微分方程的数值解，预测出男性和女性幼年、中年、老年的人口数量。可反映中国不同年龄结构的人口分布情况。
关键词： 灰色预测；小误差频率；微分方程组；人口模型；转移因子
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一．问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。因此人口预测的科学性、准确性是至关重要的。英国人口学家马尔萨斯的人口指数增长模型和荷兰生物学家的Logistic模型都是经典的人口预测模型。但是，影响中国人口的因素较多，人口结构较复杂，这些模型对人口预测很粗略，甚至是不准确的。因此，我们要根据我国具体的人口结构现状（如老龄化进程加速）、人口的分布现状（如乡村人口城镇化）、人口比率现状（如出生人口性别比持续升高）等特点，来较准确、较具体地对中国人口进行预测，建立人口增长的数学模型，由此对中国人口中短期和长期增长趋势做出预测。
另外，由于影响人口因素所起的作用不同，按照重要次序考虑关键部分的因素作用，我们要对模型的优缺点做出说明和评判。
二．问题分析
人口预测方法很多,主要有一元线性回归法、人口自然增长法、马尔萨斯指数增长法、指数平滑法、指数增长法、Logistic法、宋健模型法和GM(1,1) 法等。不同的方法具有不同的适用范围和特点：一元线性回归法适用于数据直线趋势较明显的预测；自然增长率等资料准确可靠时,可采用人口自然增长法或马尔萨斯法；历史数据较少时,可采用指数平滑和移动平均数法；宋健模型法用于短期预测的精度较高；数据情况复杂并暗藏指数规律时可采用GM(1,1) 模型法。
三．模型建立与求解
3.1 模型一：灰色分析与预测模型
灰色系统理论主要应用于灰色控制、灰色分析、灰色预测、灰色规划、灰色决策等方面。灰色系统的一个基本观点是: 一切随机量都看作是在一定范围内变化的灰色量。对灰色量的处置不是找概率分布, 求统计规律, 而是用数据处理即数据生成的方式来找数据间规律。灰色系统理论的核心是GM(1,1) 模型。它是利用离散数据列进行生态处理后所建立的微分方程型的动态模型。 灰色预测
GM(Gery Model) 模型是进行系统动态分析和预测的模型, 模型推理主要可归纳为:
(1) 灰色系统理论基于关联空间概念及光滑离散函数的性质, 定义了灰导数, 灰微分方程, 从而建立灰微分方程模型;
(2) GM(1,1)模型对原始数据列采用生成的数据处理方法, 获得随机弱化, 规律性
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强化的生成数列,所以GM 模型是生态数据模型;
(3) GM(1,1)模型的检验方法有: 残差检验、关联度检验和后验差检验; (4) 应用GM(1,1)模型进行预测所获得的数据,需要逆生成还原后才能使用。 GM(1,1)模型预测方法
(1) 设原始时间数据序列如下：
x(0)：x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),……x(0)(n)
(2) 作Xk(0)的一次累加，得到X((1)K)，
(1)(1)Xk(1)：{X(1),X(2),......X((1)n)}
(3)构造B 矩阵, B 为均值生成数据矩阵，
?1(1)?(1)?(X?X)1(2)?2(1)?????1(X(1)?X(1))1?(3)? B??2(2)?????1(1)?(1)?(X?X)1??(n?1)(n)?2?(4)构造数据向量 Y。 向量 Y 为原始数据向量。
(0)(0)TY?[X(2),X(3),......,X((0)] n)(5)辨识微分方程参数。白化形式的微分方程为:
dx(1)+ax(1)=u dt式中的u，a为待估计的参数，可由以下方法求得： 计算A 向量
?a?A?(BB)BY???
?u?T?1Ta 和u 组成的参数向量A 可由最小二乘法进行辩识。
(6) 建立GM(1,1)模型
?(1)??X?(0)?u?e?a(k?1)?u X(k)(1)?a?a??其中 k?2。
(7) 模型精度的检验
a. 后验差检验
预测(拟合) 的精度用后验差方法检验。 设原始数据的均值为X
(0)
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X则方差为S12
(0)1n(0)??X(K) nk?12(0)1n?(0)2 S1???X(K)?X???Nk?1?又设拟合的残差为e(k)
?(0)e(k)?X((0)K)?X(K)；
其残差的均值为e
1ne??e(k)；
nk?12则残差的方差为S2
1n； S???e(k)?e???nk?1222后验差比例C为：
C?小误差频率P为：
S2 S1P?Pe(k)?e?0.6745S1
检验标准见表1。
——————————————————————模型精度 P C——————————————————————好 >0.95 <0.35合格 >0.80 <0.50勉强 >0.70 <0.65不合格 ?0.70 ?0.65 ——————————————————————??
表1 模型检验标准
b. 残差大小检验：对模型值和实际值的误差进行逐点检验,是一种直观的逐点进行比较的算术检验。
定义残差?(k)?x(0)(k)?X(0)(k) ,则残差序列?(0)?[?(1),?(2),......?(n)] ,定义
1n?k?|(0)|，平均模型相对误差为????k，给定α,当△<α成立时，称模型为残
x(k)nk?1
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?(k)差合格模型。
c. 关联度检验：通过考察模型曲线与建模序列曲线的相似程度进行检验,属几何检验。x(0)的关联度为:
1|s|?|?[x(0)(k)?x(0)(1)]?[x(0)(n)?x(0)(1)]|
2k?2关联度??格模型。
(8) 预测。设需要预测的时段为T，用GM求出X(T)和X(T-1)，则 X(T)?X(T)?X(T-1)。 3.2 模型一求解
3.2.1 用灰色理论对中国一定时期的总人口数进行分析并作预测。
(1)首先选择2001年——2005年的数据
(1)(1)(0)(1)(1)n1?|s|?|S|，若对于给定的?0 ,有?>?0 ,则称模型为关联度合
1?|s|?|S|?|S?s|X((0)K)={ 127627, 128453, 129227, 129988, 130756}
(1)(2)作X((0)K)的一次累加得到X(K)
X((1)K)={ 127627，256080，385307，515295，646051}
(3)构造矩阵B
?1.0e+005 *?? -1.9185 0.0000???B=? -3.2069 0.0000?, ?? -4.5030 0.0000???? -5.8067 0.0000??(4)构造向量Y
Y={128453, 129227, 129988, 130756}
(5)识别微分方程参数，计算向量A
? 1.0e+005 *??a???A?(BTB)?1BTY???=? -0.0000?
?u?? 1.2732???(6) 建立GM(1,1)模型,利用
(1)u?(0)u?X(k)??X(1)??e?a(k?1)? 得
a?a?(1)?1.0e+005 *?X(k)=??
? 1.2763 2.5608 3.8530 5.1529 6.4605?利用X(k)?X(k)?X(k?1)求得
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(0)(1)(1)