第一讲 数列极限
一、复习指导 （一）基本概念
an?a的??N定义； 1．limn??an2．limn???a的??N定义；
3．数列{an}发散的定义。 （二）基本理论
1． 收敛数列的基本性质：
唯一性、有界性、保号性、四则运算性质； 2． 数列收敛的条件： （1）必要条件：有界性；
（2）充分条件：单调有界准则，夹逼准则（两边夹准则）。 （三）复习要求
1． 深刻理解数列{an}以a为极限的定义. 2． 明确定义中?与N的特性、作用
（1） 极限过程中的两个“无限”，用两个数量?与N来
刻画;
?的两重性（任意性与相对固定性）; （2）
（3） N的两重性（相对性与存在性）. 3．理解数列{an}以a为极限的几何意义.
an?a与liman?a的4．牢固掌握运用??N定义验证limn??n??方法与技巧.
5．掌握几个基本极限及其证明：
lim1n?n???0,(??0)，
limq?0,(|q|?1)n??n，
limnn??a?1,(a?0)，
limnn??n?1?1，lim?1???n??n??n?e.
6．深刻理解收敛数列的基本性质，掌握这些定理的证明方法，能运用这些定理论证有关的题目.
7．熟练掌握数列极限存在的单调有界准则，夹逼准则（两边夹准则）.
1??8．掌握运用重要极限lim?1??n??n??n?e求有关数列极限的方法.
二、分类题型与解题方法 （一）运用?例1. limn???Nn定义验证数列的极限
?0,(a为常数)an!.
（二）证明数列发散 例
2. 证明数列an?1?12?13?????1n发散
（三）运用收敛数列的性质证明有关命题 例3.若an?0且limn??
an?1an?r?1，则liman?0n??
（四）求数列极限的方法 1．整理、变形利用四则运算法则
例4. lim(n?2?2n?1?n)n??, n
limx?1n??xn?1(x?0)
2．利用夹逼准则 例5.lim1?n2?n3?????nnn??n
3．利用重要极限：
n①lim??en???1?1??n??
②lim(1?11n??2?3?????1n?lnn)?c
例6.
lim??1?1n?1?n???nn2??
4. 利用柯西命题
若lima1?a2?????ann??an?a，则limn??n?a
5．利用Stolz定理：
①
(??型）若{yn?1?xnn}递增趋于
??x，limn??yln?1?y?nlimxnn??y?l （注意证明）
n ，则
② (0型）若{yn}递减趋于0,
limxn?1?xnyn?1?yn330{xn} 趋于0，
n???l?l ，则lim n??yn3xn例7. lim 333n??2?4?????(2n)6．利用递推法 例8.设
1?3?????(2n?1)x0?0，xn?2?xn?1，(n?1),讨论数列
{xn}的收敛性，若收敛求其极限。
解：此题一般是用单调有界原理来证明数列收敛，再求其极限。我们下面采用递推的思想来做：因
|xn?2|?|12n?12?xn?1?2|?xn?1?22?xn?1?2?12|xn?1?2|?11?|xn?2?2|???????22?|x1?2|
故lim|xn?2|?0，即limxn?2
n??n??7．转化为函数的极限 8．利用定积分的定义 9．利用级数
10．利用积分中值定理：
（六）证明数列收敛的方法 1．单调有界原理 例9.设a1例
?2,an?1?2an，证明数列{an}收敛并求其极限；
10.设0?x1?1,xn?1xn?2?xn,(n?1)，证明数列{xn}收敛。
2．柯西收敛准则
附：Stolz定理
1． {yn}是严格单调增加的正无穷大量，且limxn?xn?1yn?yn?1n???a(a为有限量，??与??)
则limxnynn???a
证明:
(1) 考虑a= 0的情况 由limxn?xn?1yn?yn?1?0，有??,?N,?n(n?N),xn?xn?1yn?yn?1n????
即
xn?xn?1??yn?yn?1
?xN?1?xN? xN?则 xn?xn?x?n1?x?n1?x?n2?
?xn?xn?1?xn?1?xn?2???xN?1?xN?xN ????yn?yn?1?yn?1?yn?2???yN?1?yN???xN
yn是严格单调增加的，因此
xnyn??yn?yn?1?yn?1?yn?2???yN?1?yNyn?xNyn
xnyn??yn?yNyn?xNyn