其它题型（共 200 小题）
1、试研究函数f(x,y)?x?yx?y22222的连续性。
2、试讨论函数f(x,y)?sin(y?yx)y?xx?y1?xy22的连续性。
3、试讨论函数z?arctan的连续性。
?x2y2?4、试研究函数f(x,y)??x2?y2?0?x?yx?y222?0?0的连续性。
2?x3?y3?5、试讨论函数f(x,y)??x2?y2?0??xy(x?y)?6、试讨论函数f(x,y)??x2?y2??0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点（0，0）处的连续性。
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点（0，0）处的连续性。
?xy2?7、试讨论函数f(x,y)??x2?y2?0?2?xy?8、讨论函数f(x,y)??x2?2y4?0?x?yx?y222?0?0在点（0，0）处的连续性。
2(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点（0，0）处的连续性。
?2xy?9、试研究函数f(x,y)??x2?y2??0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点（0，0）处的连续性。
22?x?y?z?10、求曲线?在点P(4,2,5)处的切线与oy轴倾角。 4?x?4?22?x?y?z?11、求曲线?与点(2,4,5)处的切线与ox轴正向的倾角。 4?y?4?12、求曲面z?1?x?y22在平面x?1的交线在点(1,1,3)处的切线与oy轴正向倾
角。
13、设f(x,y)?x?y24，问fx(0,0)与fy(0,0)是否存在？若存在，求其值。
14、设f(x,y)?x?y?(x,y)，其中?(x,y)在点（0，0）的邻域内连续，欲使fx(0,0)存在，问?(x,y)应满足什么条件？
2?xy?15、研究函数z(x,y)??x4?y2?0?x?y442?02在点（0，0）处的全微分是否
x?y?0存在？
16、讨论：函数f(x,y)?x?y22在点（0，0）处是否可微？
17、设f(x,y)?x?sinxy，试研究（0，0）处的全微分是否存在？ 1?22x?ysin,?2218、讨论函数f(x,y)??x?y?0?22x?yx?y22?0在点（0，0）处的
?0连续性，可导性和可微性。
xy?,?2219、函数f(x,y)??x?y?0?x?y222?02在点（0，0）的两个偏导数是否存
x?y?0在？在点（0，0）是否可微？为什么？
20、已知?(x)可微，求A(x)使d?{sin[x?(x)]}?A(x)dx。
21、设u?sinx??(sinx?cosy)，其中?(x)可导，且当x?0时，u?siny，试确定 ?(x)，并求
?u?u。 ,?x?y22222、已知f(x,y)?ax?2bxy?cy，方程组fx??0,fy??0有两对不同的解(x1,y1),(x2,y2)，问a,b,c应满足什么关系？
23、设z?f(x,y)具有一阶连续偏导数，而x?u,y?v?u，试以 u,v为新的自变量，变换方程：y?z?x?z?y?0。
22?x24、设z?f(x,y)具有连续偏导数，作变量替换x????2,y????2，试变换方程：
?z?x??z?y。
25、设z?x??(xy)，其中?是具有连续导数的函数，试消去 ?，建立 z(x,y)所满足的一个一阶偏微分方程。
26、设f(x,y)?xe?y?sin3y?tan3x，试讨论在点（0,0）处的两个偏导数
fx?(0,0),fy?(0,0)是否存在？如存在求出导数值。
27、设u??x?ayx?ay?(t)dt，其中?(t)具有连续的导数，试用求偏导数的方法，消去函数
?(t)，建立u的二阶导数所满足的方程。
x?by28、设u(x,y)????t?dt，其中 ??t?具有一阶连续导数，试消去函数 ?，建立
x?ayu的各二阶导数间所满足的一个方程（其中 a?b，且均不为0）
29、设可微的二元函数z?f(x)?g(y)，在极坐标系下z??(r)，试求此二元函数。 30、设可微的二元函数F(x,y)?f(x)g(y)，在极坐标系下可表示为F(x,y)?G(r)，试求F(x,y)。
31、设可微的二元函数F(x,y)?f(x)g(y)，在极坐标系下可表示为F(x,y)??(?)，试求F(x,y)。
32、设z?ux?e?uy?f(u),u满足关系ye?z?y?uy?f?(u)?1x，其中u(x,y)和f(u)均有
连续导数，试求使等式
?z?x?成立的函数u(x,y)。
33、设x,y均很小，试用全微分推出ln34、设x,y均很小，试用全微分推出ln??31?x?4?x?31?y?1的近似公式。 1?y的近似公式。
??35、当x,y均很小时，用全微分推出arctan(x?2y)的近似公式。 36、设x,y均足够小，用全微分推出arctan(1?x?y)的近似公式。 37、设x,y均很小，用全微分推出(2?x)1?y的近似公式。
n38、设x,y均很小，用全微分推出(1?x)(1?y)的近似公式，其中m，n为常数。 39、设x,y均很小，用全微分推出exm4?y的近似公式。
2?y40、设x,y均很小，用全微分推出(1?x)的近似公式。
41、设x,y均足够小，用全微分推出(1?x)?(2?y)的近似公式。 42、设x,y均足够小，用全微分推出(2?x)?(5?y)的近似公式。 43、设 x,y的绝对值均足够小，用全微分推出arctan??2x?y??的近似公式。 1?xy??23344、设 x,y均很小，用全微分推出arcsin??2x?y??的近似公式。
?1?xy?45、设 x,y均很小，用全微分推出(1?x)1?y的近似公式。 46、设 x,y均很小，用全微分推出247、设 x,y均很小，用全微分推出ex?y?2x的近似公式。
x?y?2y的近似公式。
48、一直角三角形的两直角边分别由3米，4米改变为3.01米和3.97米，利用全微分计算该三角形斜边长的改变量。
49、一边长为1米的正方形，相邻两边长分别增加1厘米和2厘米变为长方形，利用全微分求其对角线改变量的近似值，(已知2?1.414)。
50、 一扇形的中心角??600，半径R=20厘米，若中心角增加 1，半径减少0.1厘米，试用全微分求此扇形面积改变量的近似值。( ?取3.1416，答案保留两位小数)。
151、测量矩形相邻两边的相对误差均为，利用全微分估计由此产生矩形面积的相
1000对误差的近似值。
52、设有一高为20厘米，底半径为4厘米的圆柱形零件，加热后，高增加0.1厘米，底半径增加0.02厘米。试用全微分估计此零件加热后体积的增加量。( ?取3 .1416，答案保留2位小数)。
53、设矩形的宽为6米，长为8米，若宽增加3毫米，而长减少4毫米，试用全微分估计矩形对角线的变化量。
54、已知边长x=6米与y=8米的矩形，如果边长x增加5厘米，而y减少10厘米，则这个矩形的对角线的长度近似变化多少？
55、一长方体的长，宽，高分别由1米，2米，3米增加到1.01米，2.01米和3.02米，利用全微分计算该长方体体积改变量的近似值。
56、一圆锥形工件，加热后底半径由10厘米增加到10.01厘米，高由12厘米增加到12.01厘米，用全微分计算该工件体积改变量的近似值( ?取3.1416，答案保留两位小数)。
57、一圆柱体底半径由1米增加到1.01米，高由2米增加到2.02米，用全微分求此圆柱体体积变化量的近似值。(?取3.1416，答案保留两位小数)。
58、一圆柱体的半径由20厘米增加到20.05厘米，高度由100厘米减少到99厘米，用全微分求此圆柱体体积变化量的近似值(?取3.1416，答案保留两位小数)。
59、当圆台变形时，它的上底半径 R1由20厘米增大到20.1厘米，下底半径 R2由
035厘米增大到35.14厘米，高 H由50厘米减少到49.5厘米，试用全微分求圆台体积改变量的近似值( ?取3.1416，答案保留两位小数)。
60、测得一物体的体积为（3.06?0.01）立方厘米，质量为（18.36?0.01）克。利用全微分求由此计算物体的密度所产生绝对误差的近似值。(答案保留三位小数)。
xy??261、用方向导数的定义讨论函数f(x,y)??x?y2?0?x?yx?y2222?0?0在(0,0)点沿任
意方向的方向导数是否存在？
62、函数f(x,y)?x?y在点（0，0）沿任意方向的方向导数是否存在？
2263、函数z?x2y?y2x在（x，y）点处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此方向导数的值。
64、函数z?xe在（2，0）点沿哪个方向的方向导数值最大，并求此方向导数的值。 65、函数z?(1?xy)y在（0，1）点处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。
66、函数z?arctan数的值。
67、函数z?ln(x?y)在（1，1）点处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。
?68、求函数z?x?xy?y在点（1，1）处沿单位矢量l??cos?,sin??方向的方向
222xy1?x1?y在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导
?导数，并求?分别取什么值时，沿l方向的方向导数最大，最小或等于零。
69、函数z?sinxy在（?，4）点处沿哪个方向的方向导数值最大，沿哪个方向的方向
导数值最小，并分别求这两个方向导数的值。
70、函数z?x?2xy?2y?3x?2在（1，1）点处分别沿哪个方向的方向导数值最大，最小，并求这两个方向导数的值。
71、函数u?xy?yz在点（1，2，－1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。
?72、设f(t)可微，且f(t)?0，求u?f(ax?by?cz)沿l? 2322?A,B,C?方向的方向
?导数，并讨论l取什么方向时，该方向导数的值最大。