根据单调性和传递性，(x1,x2)与A无差异，而A是B的弱偏好，所以(x1,x2)是B的弱偏好，即消费者认为极端消费比平均消费好。
如果消费者认为在一定的范围内，平均消费束与任意一个消费束是没有差异
的，但在更大的范围内认为是有差异的，那么就说这个消费者具有拟凸或者拟凹性。拟凸性就是说消费者认为在更大的范围内平均消费比极端消费更受偏好，而 拟凹性则正好相反。拟凸和拟凹的弱偏好集合如图3-6所示。（略）
六、不同类型的偏好和无差异曲线
虽然面对相同的商品，不同的消费者会表现出不同的偏好，但对经济分析来说更为重要的是考察绝大多数消费者对不同种类商品所表现出来的共同偏好特征。对消费者全体或者代表性消费者来说，对于六种不同的商品表现出不同类型的偏好，因此具有不同形状的无差异曲线。在此重点讨论消费者对可替代品、完全替代品和完全互补品的偏好。
（一）完全替代品的偏好和无差异曲线
完全替代品的偏好又称为线性偏好。消费者愿意按照固定的比率用一种商品来替代另一种商品。完全替代的一种极端情况是按照1：1的比率在两种商品之间进行替代。
描述完全替代品偏好的无差异曲线是一条斜率等于1的向右下方倾斜的直线。如图3-7所示。（略）
（二）完全互补品的偏好和无差异曲线
完全互补品的偏好又称为列昂惕夫偏好。消费者愿意按照一个固定的比率共同消费两种商品。完全互补的一种极端情况是按照1：1的比率同时消费两种商品。
描述完全互补品的无差异曲线呈“L”形。从原点过无差异曲线的交点做射线，其斜率决定互补比率。无差异曲线上的其它点都存在自由处置品。如图3-8所示。（略）
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（三）性状良好的偏好和无差异曲线
性状良好的偏好又称为科布-道格拉斯偏好或者凸性偏好，它是消费者对绝大多数正常品所具有的偏好。消费者愿意用一种商品来替代另一种商品，但是随着一种商品消费量的增加消费者愿意替代的另一种商品的数量不断减少。经济学用边际替代率及其递减来描述这种现象。
边际替代率表示消费者在一定的条件下主观上愿意用一种商品去替代另一种商品的比率。如图3-9所示，消费者愿意用增加对商品1的消费（?x1）来替代一部分对商品2的消费（??x2），其替代比率可以表示为：
MRS???x1/?x2
边际替代率为负表明消费者要增加一种商品的消费必须减少另一种商品的消费，因此两种商品消费数量的变化方向是相反的。
从几何图形上可以看出，边际替代率是不断递减的，这可以说是凸性偏好的一个基本特征，也可以说是绝大多数消费者在对绝大多数正常商品的消费中所表现出来的一个基本规律。因此又叫做边际替代率递减规律。
商品2
商品1
?x1
??x2 图3-9 边际替代率
Chapter Four: Utility and Utility Function
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一、消费者偏好的数学描述
消费者的偏好有两种描述方法，一种是无差异曲线（几何方法），另一种是效用函数（数学方法）。在现代经济学中，效用和效用函数仅仅被看作是描述偏好的一种数学方法。
如果消费者偏好某一消费束，那么一定是这种消费束可以使其获得较大程度的满足，或有较高的效用。因此，对于任意两个消费束(x1,x2)和(y1,y2)
(x1,x2)?(y1,y2)，当且仅当 u(x1,x2)?u(y1,y2)。
其中u(x1,x2)和u(y1,y2)分别为两个消费束的效用函数。因此，可以用效用函数对消费者的偏好进行排序。
二、效用函数的单调变换
效用函数就是按照一定的偏好特征给消费束赋值，使之保持一定的次序。在次序不变的情况下，可以有多种赋值方法。单调变换就是在保持效用次序不变的条件下将一组数字变换成另一组数字的方法。
设u为效用函数，f(u)是其单调变换。f(u)可取u的所有初等变换方式，比如f(u) = 3u, f(u) = u+17, f(u) = u3等。对效用函数值的理解应当注意：
（1）效用函数值是对偏好次序的一种数量说明。函数值越大，表明偏好的次序越排在前面。例如：u = x1x2，当消费束X = (1,1)时，u1=1；当消费束X= (1,2)时，u2 = 2，由于u1< u2。显然消费者将消费束x = (1,2)排在前面。
（2）一个效用函数的单调变换还是一个效用函数，其代表的偏好与原函数代表的偏好相同，也就是说消费者对商品束的排序不发生变化。单调变换是保持偏好不变的情况下，采用不同的数量单位对偏好次序进行描述。因此，效用函数的性质表示偏好的类型，效用函数值的大小表示偏好的次序。比如，对于效用函数f(u) = u+17：当u =1时f(u) =18；当u = 2时，f(u) =19。在原有的效用函数的基础上加上一个17并不改变两个效用函数的大小顺序。
因此，在对偏好的描述中效用函数强调的是效用的次序，不同的效用函数值代表不同的效用水平。在偏好具有单调性的情况下，任何一种合理的偏好都能用效用函数表示。
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三、用效用函数推出无差异曲线
设效用函数u(x1,x2)?x1x2，无差异曲线就是对于常数k来说，使得k?x1x2时的所有(x1,x2)的集合。根据x1?k/x2，当
（1）保持k值不变，可画出与之相对应的无差异曲线。 （2）改变k值，可以画出k = 1，2，? n时的多条无差异曲线。
四、不同偏好的效用函数的几何形状
（一）完全替代偏好的效用函数（线性效用函数）
u(x1,x2)?ax1?bx2
由此可以画出无差异曲线。其斜
设k?ax1?bx
2当x1 = 0, x2 = 当x2 = 0, x1 =
0
kakb
率为-a/b, 表示两种商品之间的替代比率为一个常数。
x2
k/b
斜率=-a/b
k/a
x1
（二）完全互补偏好的效用函数（列昂惕夫效用函数）
u(x1,x2)?min?ax1,bx2}
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表示互补效用函数中两种商品的互补比例。
x2
b/a
0
x1
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b/a