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第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛
五年级 第1试试题
1.
201403165?，余数是 .
【考点】数论，整除特征【答案】1
【分析】5的整除特征是看个位除以5的余数即可.6除以5余1，故原数除以5也余1.2. 用1、5、7组成各位数字不同的三位数，其中最小的质数是 2.
【考点】数论，质数判别，最值【答案】157
【分析】首先考虑百位为1；多位数质数的个位不可能为5，故若1在百位，则5只能在十位，进而7
在个位.检验157是否为质数：157不是2、3、5、7、11的倍数，故157是质数.3. 10个2014相乘，积的末位数是 3.
【考点】数论，余数性质【答案】6
【分析】末尾即为此数除以10的余数.根据余数的可乘方性，101025520144(4)66(mod10)oooo， 4.
有一列数：
1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、??
每个数n都写了n次.当写到20的时候，数字1出现了. 【考点】计算，数列，页码问题变型【答案】157 【分析】出现过1的数有：1（1个）、10（10个）、11（21122′=个）、12（12个）、13（13个）、??、 19（19个），共有1101121213 一个小数，若去掉小数点，则得到的整数与原小数的和是201.3，那么这个小数是 .
【考点】数论，位值原理【答案】18.3
【分析】和是201.3，说明原小数的小数部分必定为0.3.故当去掉小数点时，此数扩大到了原来的10
倍；再加上自身，得到的和应为原来的11倍，故此数原来是201.31118.3?=.6. 已知三位数abc与cba的差198abccba-=，则abc最大是 .
【考点】数论，位值原理，最值【答案】997
【分析】用位值原理将条件式按数位拆开：(10010)(10010)9999198abccbaac++-++=-=，故 2ac-=.要abc最大，则要a最大，令9a=，则7c=.b没有限制，故令9b=.abc最大是997. 7.若将20表示成若干个互不相同的奇数的和，那么，不同的表示方法有种.（加数相同， 相加的次序不同，算作同一种表示方法.如119+与191+算作同一种表示方法.）【考点】计数，
整数分拆，奇偶性【答案】7
【分析】20是偶数，故只能分拆成偶数个奇数的和，但6个不同的奇数相加至少是
135791136+++++=，故知20最多只能分拆成4个不同的奇数相加.字典排列法：20119317515713911=+=+=+=+=+135111379=+++=+++.共7种. 8.
A、B两家面包店销售同样的面包，售价相同.某天，A面包店的面包售价打八折，A面包店这天的营业额是B面包店营业额的1.2倍，则A面包店售出的面包数量是B面包店的倍. 【考点】应用题，经济问题【答案】1.5 【分析】售价×数量＝营业额 B：111′=；
A：0.8?1.2′=.故知答案是1.20.81.5?=倍. 9.
甲桶内有水4升，乙桶内有水13升，向两个桶内加入同样多的水后，乙桶内的水是甲桶内的水的
3倍（水不溢出），那么，向每个桶内加入的水是升.
【考点】应用题，列方程解应用题【答案】0.5（或可写作 1 2 ）【分析】设每个桶内加入的水是x升，则有方程133(4)xx+=+，解得0.5x=. 10.一只蚂蚁从墙根竖直向上爬到墙头用了4分钟，
从墙头沿原路返回到出发点用了3分钟.若蚂蚁第二分钟比第一分钟多爬1分米，第三分钟比第二分钟多爬1分米，??，整个过程中，每分钟爬过的路程都比前一分钟多爬1分米，则墙高米.
【考点】应用题，列方程解应用题，等差数列【答案】4.2
【分析】设第一分钟爬了x分米，则有方程(1)(2)(3)(4)(5)(6)xxxxxxx++++++=+++++， 即46315xx+=+，解得9x=，故墙高910111242+++=分米，即4.2米.
11.如图，五边形ABCDE内有一点O，O点到五条边的垂线段的长都是4厘米，五边形的周长是30
厘米，则五边形ABCDE的面积是 平方厘米. 444 44E D C B A
O【考点】几何，图形分割，三角形面积公式 3
【答案】60
【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE， 则ABCDEOABOBCOCDODEOEA
SSSSSS=++++△△△△△4242424242ABBCCDDEEA=′?+′?+′?+′?+′?()42 ABBCCDDEEA=++++′?3042=′?60=（平方厘米）
12.一天，小华去一栋居民楼做社会调查，这栋楼有15层，每层有35个窗户，每两户人家有5个窗
户.若每户人家需要一份调查表，则小华至少应带调查表份. 【考点】应用题【答案】210
【分析】每层有355214?′=户人家，故共有1415210′=户人家.
13.如图，一个四边形花园的四条边长分别是63米、70米、84米、98米，规定：在花园的四角和边
上种树，相邻两棵树的间距是相等的整数（单位：米），则至少植树 棵. 84米 70米 63米 98米
【考点】数论，最大公因数，间隔问题【答案】45
【分析】由于是首尾相连的图形，故树的棵数与间隔数相等，而(63,70,84,98)7=，故相邻两棵树的最
大间距是7.总间隔数最少是(63708498)7910121445+++?=+++=个，即至少植树45棵.
14.小红和小亮玩“石头剪刀布”的游戏，约定：在每个回合中，如果赢了就得3分，输了就扣2分，
每个回合都分出胜负.游戏开始前，两人各有20分，玩了10个回合后，小红的得分是40分，则小红赢了个回合.
【考点】应用题，鸡兔同笼型问题 【答案】8
【分析】方法一（算术）：如果小红全输，最终应得202100-′=分，与实际得分相差40分；一个回
合之内，赢比输多得325+=分，故知小红赢了4058?=个回合. 方法二（代数）：设小红赢了x个回合，则小红输了(10)x-个回合，故有方程 2032(10)40xx+--=，解得8x=.
15.如图，线段AB和CD垂直且相等，点E、F、G是线段AB的四等分点，点E、H是线段CD的三
等分点，从A、B、C、D、E、F、G、H这8个点中任选3个作为顶点构成三角形，其中，面积与△CFE面积相等的三角形（不包括△CFE）有 个.
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HGFE D CB
A【考点】组合，几何，计数【答案】10
【分析】设3AEEFFGGB====，则4CHHEED===.则283CEFSCEEF=′=′△，同样为83 ′型的三角形还有△CEA、△HDF、△HDA；但246CEFS=′△，46′型的三角形有△CHG、△HAF、△HEG、△HFB、△DAF、△DEG、△DFB.共有10个. 16.一个长方体的长、宽、高都是两位数（其中长的值最大），并且它们的和是偶数.若这个长方体的
体积是2772、2380、3261、4125这四个数中的一个，则这个长方体的长是. 【考点】数论，奇偶性，分解质因数【答案】21
【分析】长、宽、高不可能都是奇数，否则和不可能是偶数.所以这三个数中必有偶数，乘积必为偶数，
故体积只可能是2772和2380这两个数中的一个.但2238025717=′′′，故知2380分拆成三个两位数相乘只有一种拆法：2380101417=′′，但此时长、宽、高的和不是偶数，所以体积是2772.
22277223711=′′′，分拆成三个两位数相乘有两种拆法：111418′′（舍，和不是偶数）或111221′′，故知长为21.
17.如图，用35个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积） 是 .
【考点】立体几何，三视图法求表面积【答案】90 【分析】三视图法：()2
=+++′堆叠体表面积正视图面积俯视图面积侧视图面积凹槽数(1415160)2=+++′90
=18.若115、200、268被某个大于1的自然数除，得到的余数都相同，那么，用2014除以这个自然数， 得到的余数是 .
【考点】数论，同余定理【答案】8
【分析】设这个自然数为x，则(200115)x-，且(268200)x-，即85x且68x，故知x是85和68的
公因数.(85,68)17=，故17x.又x是大于1的自然数，故 5
19.一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行45千米，则将比原计划迟到1小时；若每小时行60千米，
则将比原计划早到1小时.那么，甲、乙两地的距离是
千米.
【考点】行程问题，列方程解行程【答案】360 【分析】设原计划用时为x小时，以两地全长为等量关系列方程：45(1)60(1)xx+=-，解得7x=.故
两地全长为45(71)360′+=千米. 20.若算式11
个的得数是整数，则m的值最大是. 【考点】数论，质因数分解【答案】102
【分析】2014！中11的数量：[201411]183?=，[18311]16?=，[1611]1?=，共183161200++=个； 999！中11的数量：[99911]90?=，[9011]8?=，共90898+=个；则中11的数量为20098102-=个
2014年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛
五年级第2 试 详细解答
一、填空题（每题5 分，共60 分。）
1. 能被2，3，7整除的最小的三位数是_________。 【答案】126 【考点】因数与倍数 【解析】 找2,3,7 的最小公倍数是2×3×7=42，最小的三位数42 的3倍是126。 2. 在1-100 的自然数中，数字和是5 的倍数的数有__________个。 【答案】19 【考点】计数之枚举法
【解析】数字之和是5 的有：5,50,14,41,23,32
数字之和是10的有：19,91,28,82,37,73,46,64,55 数字之和是15的有：69,96,78,87 共有19个。
3. 如图1，有10克、25 克、50 克的砝码各一个，若在天平上只称量一次，则可以称出的重量有___________种。
【答案】10
【考点】计数之枚举法 【解析】单独放的：10,25,50 和的有：35,60,75,85 差的有：15, 40，65 共有10种。
4. 如图2，将黑、白两种小球从上到下逐层排列，每层都是从左到右逐个地排。当白球第 一次比黑球多2013个时，恰好排完第_________层的第_________个。
【答案】2014 层的4026 个 【考点】计算之等差数列找规律
【解析】观察规律是每两层，白球比黑球多2个 2013÷2=1006 ······1
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