2015-2016学年高中数学 2.4正态分布学案 新人教A版选修2-3
基础梳理 1．正态曲线
（x－μ）函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为22σ2πσ1参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
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2．正态分布
b(1)如果对于任何实数a，b(a 2 (2)记作：X～N(μ，σ)． 3．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称． 1(3)曲线在x＝μ处达到峰值． σ2πμ，σ (x)dx，则称 (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (6)如图所示：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“辞矮”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 1 4．3σ原则：正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002_6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 自测自评 1．设有一正态总体，它的正态分布密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝（x－10） ，则这个正态总体的均值与标准差分别是(B) 8 A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 （x－10）1 解析：把函数f(x)＝e－化简成正态密度函数为f(x)＝e－ 88π2π×2 1 （x－10） ，易知这个正态总体的均值与标准差分别是10与2. 2 2×2 （x－μ1）1 2．如图，曲线C1：f(x)＝e－(x∈R)，曲线C2：φ(x)＝e22σ12πσ12πσ2 1 2 2 2 2 2 18π e－ （x－μ2）－(x∈R)，则(D) 2 2σ2 A．μ1＜μ2 B．曲线C1与x轴相交 C．σ1＞σ2 D．曲线C1、C2分别与x轴所夹的面积相等 3．(2013·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为 (A) 75 A. B. C．5 D．3 33 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，因为P(ξ<2a－3)＝p(ξ>a＋2)，所以7 2a－3与a＋2关于x＝3对称，所以2a－3＋a＋2＝6，所以3a＝7，所以a＝.故选A. 3 2 不能正确应用正态分布的对称性致误 【典例】 随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)． 解析：如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.413，所以P(ξ>1)＝1－0.413＝0.158 7.所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3. 11 【易错剖析】本题易有如下错解： P(－1<ξ≤0)＝[1－P(ξ≤1)]＝(1－0.841 3) 22＝0.0793 5. 这是用错正态分布的对称性造成的．由于ξ～N(0，1)，所以对称轴为x＝0，所以与(－1，0)对称的区间应为(0，1)，与(1，＋∞)对称的区间为(－∞，－1)． 基础巩固 1．设随机变量X～N(μ，σ)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c的值是(C) 2 A．－μ B．0 C．μ D．σ 2 2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ)，则P(ξ<3)等于(D) 1111A. B. C. D. 5432 12 解析：∵ξ～N(3，σ)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P(ξ<3)＝. 2 3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤ 2)＝(C) 3 2 2 A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 2 解析：∵ξ～N(0，σ)，∴μ＝0，即图象关于y轴对称， ∴P(－2≤ ξ≤ 2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2× 0.023＝0.954. 2 1（x－3） 4．正态变量的概率密度函数f(x)＝e－，x∈R的图象关于直线x＝3对 22π称，f(x)的最大值为能力提升 5.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ)，在一次正常的试验中， 取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为(C) A．7 B．10 C．3 D．6 解析：∵P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个． 6．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，则P(－3<ξ<5)＝ (参考数据：P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)(B) A．0.6826 B．0.9544 C．0.0026 D．0.9974 解析：由ξ～N(1，4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P(－3<ξ<5)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B. 2 7. 一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，400)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是________． 解析：μ＝10 000，σ＝400，所以P(9 200 答案：0.954 4 8．设X～N(0，1)： ①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)； ②P(X＜0)＝0.5； ③若P(－1＜X＜1)＝0.683，则P(X＜－1)＝0.158 5； ④若P(－2＜X＜2)＝0.954，则P(X＜2)＝0.977； ⑤若P(－3＜X＜3)＝0.997，则P(X＜3)＝0.998 5. 其中正确的有①②③④⑤(填序号)． 2 9．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500，20)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少． 2 解析：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500，20)，所以μ＝500，σ＝20， 所以月收入在区间(500－3×20，500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440，560)． 因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)． 10．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是 1 增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝. 82π 4 2 12π． (1)求正态分布的概率密度函数的解析式； (2)估计尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的百分比． 解析：(1)因为正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数． 所以正态分布关于直线x＝80对称，且在x＝80处达到峰值，所以μ＝80. 11又＝，所以σ＝8， 2πσ82π 故正态分布的概率密度函数的解析式为 2 1（x－80） f(x)＝e－. 12882π(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88. 所以零件的尺寸X位于区间(72，88]内的概率为0.682 6.故尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的68.26%. 5