解 f(0?0)?lim?x?0sin2xsin2x?lim2?2 x?0?x2xx2x2f(0?0)?lim?lim?2
x?0?1?cosxx?0?12x2∴limf(x)?2
x?01??x2?esinx??. ?特训题25、 求lim4x?0?x??1?ex???1??x?2?e?sinx??2?1?1
解 lim4?x?0???1?ex(?x)???3???4?xx2e?esinx???0?1?1 lim?4x?0??x??e?x?1???1??x2?esinx???1 ?∴lim4x?0?x??1?ex???x2?ax?b?3，求a和b. 特训题26、 设limx?1sin(x2?1)解 由题设可知lim(x?ax?b)?0，∴1+a+b=0
x?12再对极限用洛必达法则
x2?ax?b2x?a2?alim?lim??3 a?4,b??5 x?1sin(x2?1)x?12xcos(x2?1)2特训题27、f(x)连续，limx?01?cos(sinx)(e?1)f(x)x2?1，则f(0)??????????????????
解：
1 2121sinx1分析：lim22?1,则lim2?1，由f(x)连续，则f(0)?
x?0xf(x)x?0f(x)2特训题28、 讨论函数
?1?ex x?0 ?f?x???0 x?0
?1?xsin x?0x?在点x?0处的连续性。
解 因 f?0?0??limf?x??limex?0 ??x?0x?01f?0?0??limf?x??limxsin??x?0x?01?0 xf?0??0
即有f?0?0??f?0?0??f?0?，故f?x?在点x?0连续. 特训题29、 讨论函数
ì?ln(1-x)? x<0??x???1f(x)=? x=0 í ?2???1+x-1?? x>0??x?在点x?0的连续性.
1ln(1?x)?limln(1?x)x??1 解 f?0?0??lim??x?0x?0xf?0?0??lim?x?01?x?111?lim? x?0?x21?x?1x?0因f?0?0??f?0?0?，因而limf?x?不存在，故f?x?在点x?0不连续.
ìsinx?? x10?f(x)=特训题30、 设在x=0处连续，求常数k. íx?? x=0??k 解 ∵limf?x??limx?0sinx?1
x?0xf?0??k，由连续性可知 k?1
3特训题31、求函数f(x)?x?1的间断点，并确定其类型. x?1解 显然x?1是间断点，由于
x?1lim＝limx?1x?1x?1＝lim33?3x?1??x?1323x?x?1?
x?131?
x2?3x?131所以x?1是f?x?的可去间断点.
x2?2x特训题32、 求函数f(x)?的间断点，并确定其类型.
x?x2?4?解 所给函数在点x?0，-2，2没有定义，因此x?0，-2，2是所给函数的间断点.下面确定它们的类型.
对于x?0，由于
f(0?0)?lim?x?0x(x?2)1x(x?2)1 ??，f(0?0)?lim??x?0?x(x?2)(x?2)2x(x?2)(x?2)2故x?0是第一类间断点，且为跳跃间断点.
对于x??2，由于
f(?2?0)?f(?2?0)?limx??2x(x?2)??
x(x?2)(x?2)故x??2是第二类间断点，且为无穷间断点. 对于x?2，由于
f(2?0)?f(2?0)?lim?x?2x(x?2)1?
x(x?2)(x?2)4故x?2是第一类间断点，且为可去间断点.若补充定义f(2)?续.
1，则f?x?在x?2连4特训题33、 设f(x)在(??,??)内有定义，且limf(x)?a
x????1??f? x?0
g(x)????x??0 x?0?则下列结论中正确的是（ ） (A) x?0必是g(x)的第一类间断点 (B) x?0必是g(x)的第二类间断点 (C) x?0必是g(x)的连续点
(D) g(x)在x?0处的连续性与a的取值有关
解 limg(x)?limf?x?0x?0?1?f(t)?a ??tlim?x???∴a?0时x?0是g(x)的连续点，a?0时，x?0是g(x)的可去间断点故选D.
特训题34、 求limarctan?x?0?sinx??. x??解 因lim
sinx?1，而函数y?arctanu在点u?1连续，所以
x?0xsinx???sinx?? limarctan?＝arctanlim?arctan1???x?0?x?0xx4????特训题35、 设f(x)在x=2处连续，且f(2)?3，求limf(x)?x?24??1. ?2??x?2x?4?解 由于f(x)在x=2处连续，且f(2)?3，所以limf(x)?3
x?2则limf(x)?x?24?(x?2)?41?1 ?2=limf(x)?limf(x)??2x?2x?2x?4?x?2x?4?x?2＝limf(x)?limx?213 ?x?2x?24特训题36、 设f(x)在[a，b]上连续，且f(a)?a，f(b)?b，证明：f(x)?x在
(a，b)内至少有一个根.
证 令g(x)?f(x)?x，可知g(x)在[a，b]上连续，
g(a)?f(a)?a?0 g(b)?f(b)?b?0
由介值定理的推论，可知g(x)在(a，b)内至少有一个零点，即f(x)?x在(a，b)内至少有一个根.
特训题37、 求证：方程e?e证 令f(x)?e?e有一个根.
x?xx?x?4?cosx在(??,??)内恰有两个根.
?cosx?4，它是偶函数，所以只需讨论f(x)在(0,??)内恰
f(0)??3?0，f(2)?e2?e?2?cos2?4?0
f(x)在?0,2?上连续，根据介值定理推论，至少有一个??(0,2)，使f(?)?0.
又因为f?(x)?e?ex?x?sinx?0?x?0?，所以f(x)在(0,??)内单调增加，因此，
f(x)在(0,??)内最多只有一个零点，于是f(x)在(0,??)内恰有一个零点，由偶函数的
对称性，f(x)在(??,??)内恰有两个零点，也即所给方程在(??,??)内恰有两个根.
特训题38、 设f?x???x?a?g?x?，其中g?x?在点a处连续，求f??a?。 解 ?没有假设g?x?可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义
f??a??limx?af?x??f?a?x?a?limx?a?x?a?g?x??0
x?a =ligm?x??g?a?。
x?a特训题39、 曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. 解：y?x?1.
?1?1Fxy?x分析：设F(x,y)?sin(xy)?ln(y?x)?x，斜率k??，?1Fyxcos(xy)?y?xycos(xy)?在(0,1)处，k?1，所以切线方程为y?1?x，即y?x?1
特训题40、 讨论函数
??x x?0 y?f?x??x??
x x?0?在x0?0处连续性与可导性。
解 函数y?f?x??x在x0?0处连续，因为f?0??0
x?0?limf?x??lim?f??x??0
x?0x?0?limf?x??limx?0 ?x?0x?0则 limx?f?0??0