-对任意的，，（3.4）使用通常的技巧，充分的利用激励相容约束我们可以得到下面的引理：
引理1是可行机制当且仅当下面的条件满足：
如果，那么有，、，（3.5）
，，（3.6）
（3.7）
以及，和
（3.1）
这个引理充分刻画了可行机制的特征，这样拍卖者的问题就是选择满足引理1的机制，来最大化他的预期收益（3.3）。利用条件（3.6）和，的定义我们得到拍卖者的收入为
=（3.8）引理2是最优机制当且仅当满足约束（3.5）（3.1）最大化
并且，，（3.9）
（3.7）
以及，和（3.1）
这样，由引理2和我们关于参与者评价分布的假设就得到固定数目参与者时的最优拍卖机制。我们可以知道，，由于是线性函数，因而>时，拍卖人保留物品不予售出，仅当>时，>0。可以解释为边际收益，只把物品分配给具有最高边际收益的买者。由于我们假设是单调递增的，对任给，最优机制就是最大化同时满足约束，。由的单调性，我们可以知道也是单调的，因而满足约束（3.5）。
为了得到参与者的支付函数，对任何关于其他人的估价的向量，我们定义
，是参与者相对于的最小成功出价。这样我们就可以根据（3.9）和上边的分析得到下面的推论。推论1当参与者数目固定时，最优拍卖机制的结构如下：
参与者获得成功的概率满足：参与者的支付
最优机制满足具有最高边际评价的买者的到物品，他的支付是最小获胜评价。由于分布是连续的，出现相同边际评价的概率为0。
四、“定员规则”下的最优机制这里和整篇文章一致，我们假设拍卖者有完全的承诺能力（fullcommitment）,拍卖者对物品的评价是公共知识。在“定员规则”下，拍卖人在事前就确定了拍卖的参与人，拍卖人对参与者的人数没有不确定；拍卖人在这时不确定拍卖停止的时刻。由于买者到达的时刻和他的信息的分布是独立的，因而拍卖人在拍卖停止时的参与人数事固定的，因而在给定人数时，第三节的推论1的机制是最优的。
由于在“定员规则”和第三节分析的不同之处在于前边的参与者人数是固定的，在这时我们要选择拍卖的结束人数。这时，一个可行的拍卖机制就是一个三元组（，，），其中满足约束（2.2），给定，（，）满足引理1。此时的可行机制由停止规则，物品分配概率向量和支付向量组成。
从第二节我们知道=，由于评价和到达时间是独立的对任意可行的机制，我们知道和是独立的，因而对任一可行机制有：
==（4.1）
这样，拍卖者就可以在可行机制中进行选择最大化他的效用（4.1）。这一目的可以通过两步来的到，首先给定，计算最优机制得到和（，）,这里（，）满足推论1。第二步我们计算最优的最大化导出的效用=，就可以得到最优的停止人数。
这样我们就得
：
引理3“定员规则”下的最优机制是如下的三元组（，，），满足条件：
（1）；
（2）给定，（，）满足推论1。
由于，不一定具有可微性，同时没有明确参加者评价的分布函数时，不易得到一般的结论。后面在第六节我们用例子来说明机制的结构。简单分析可以知道，时间偏好对机制的选择有影响。前边我们也看到，时间偏好对分配机制的影响只是通过停止规则来发生作用。
六、“定时规则”下的最优机制和“定员规则”不同，在“定时规则”下拍卖结束时拍卖参与人的数目时不确定的。拍卖人在事前确定了拍卖的停止时刻，拍卖人对参与者的人数是不确定的；拍卖人对拍卖停止的时刻的选择就是对参与人数概率分布的选择。由于买者到达的时刻和他的信息的分布时独立的，同样拍卖人在给定拍卖停止时的参与人数固定时，第三节的推论1的机制是最优的。
由于在“定员规则”和第三节分析的不同之处在于后者的参与者人数是固定的，在这里我们要选择拍卖的结束时间。不同的结束时间对应着结束时参与人数不同的概率分布。
“定时规则”下一个可行的拍卖机制就是一个三元组（，，），其中满足约束（2.2）。这里，与前边的不同之处在于，拍卖者事前无法确定结束时刻买者的数目，于是它的可行的配置必须对每一个可能的参与者数目都给出规定。（，）=就是结束时刻人数的函数，对于每一个给定，满足引理1。此时的可行机制由停止规则，物品分配概率向量和支付向量组成。
从第二节我们知道=，由于评价和到达时间是独立的对任意可行的机制，我们知道是事前选择的，因而对任一可行机制有：
=（5.1）
这里我们看到，拍卖者获得收入的时刻时确定的这样，拍卖者就可以在可行机制中进行选择最大化他的效用（5.1）。这一目的可以通过两步来的到，首先给定，计算最优机制得到最优机制下的条件效用和条件最优机制（，）,这里（，）满足推论1。第二步我们选择最优的来选择参与人数的分布莱最大化的效用=，就可以得到最优的停止时间。
这样我们就得到：
引理4“定时规则”下的最优机制是如下的三元组（，，），满足条件：
（1）；
（2）给定，对结束时刻的任意人数,满足推论1。
由于，不一定具有可微性，同时没有明确参加者评价的分布函数时，我们选择停止时刻是在不同概率分布之间选择，我们可以预料这使得最大化问题更复杂。我们甚至不能一般性的证明解的存在性。在第六节我们用例子来说明机制的复杂性。
七、一个简单的例子这里，我们假设买者是对称的，他们的私人评价服从相同的分布，都是服从区间上的均匀分布。拍卖者对拍卖品的估价为=0。
（i）在给定参与者人数为的时候，我们可以计算出拍卖者最优的预期收益=，同时，我们可得到最优的概率分配机制，
，，(7.1)
我们可以看到评价最高的参与者获得了拍卖的胜利。此时最优的支付为
，(7.2)示买者的集合,胜者的支付为最高的失败价格。这和通常的第二价格拍卖是一致的，可以通过第二价格拍卖来执行最优机制。
(ii)在“定员规则”下，我们计算最优的机制。首先，给定任一可行的停止规则，我们可以计算得到停止时的期望收益为=，这样，在这种规则下。拍卖者的效用函数
==
接下来选取停止人数最大化，我们得到。从这里我们可以看出，最优停止人数的选择受拍卖人的时间偏好和买者到达特征决定的。当，有，当拍卖人没有耐心时，他会和遇到的第一个人交易，他的期望收益为0。当，有，拍卖人不存在时间偏好的时候，他会充分利用买者的特征，等待足够多的买者，得到更大的效用。在本例中，当，时，拍卖者可以得到最高的收益1。但是为了得到这一收益，拍卖者的平均等待时间要接近取穷大。
（iii）在“定时规则”下，首先，给定任一可行的停止规则，我们可以计算得到停止时参与人数为=时的，期望收益为=，这样，在这种规则下。拍卖者的效用函数