第 6讲
数论(二)
教学目标 小学奥数数论内容中，余数相关问题是最成体系的，也是各类竞赛考试中的重点．
⑴同余性质是解决同余问题的重要依据,复习简单同余问题，学会灵活运用同余性质解决同余问题. ⑵熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用.
⑶能用凑同余的办法解决一个数除以多个数，得不同余数的问题，学会使用中国剩余定理．
专题回顾
余数定理：
①两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和．
实例：7?3?2??1，5?3?1??2，这样?7?5??3的余数就等于?1?2??3的余数． ②两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差．
实例：8?3?2??2，4?3?1??1，这样?8?4??3的余数就等于?2?1??3的余数． ③两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积．
实例：7?3?2??1，5?3?1??2，这样?7?5??3的余数就等于?1?2??3的余数．
带余除法：
一般地，如果a是整数，b是整数?b?0?，那么一定有另外两个整数q和r，0?r?b，使得a?b?q?r．
当r?0时，我们称a能被b整除．
当r?0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)．用带余数除式又可以表示为a?b?q??r,0?r?b．
同余式：
若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为a?b?modm?意味着(我们假设a?b)a?b?mk，k是整数，即m|?a?b?． 若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除．
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【例 1】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______． 【分析】 (70?110?160)?50?290，50?3?16??2，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能
是29和58，110?58?1??52，52?50，所以除数不是58．
70?29?2??12，110?29?3??23，160?29?5??15，12?23?15?50，所以除数是29．
【例 2】 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？ 【分析】 设两位数ab(a表示十位数字，b表示个位数字)
ab10a?b9a???1 a?ba?ba?b 由于余数不会超过除数a?b的值，所以我们对a?b的值从最大值18开始往小进行尝试搜索：
当a?b?18，此时余数为9．
当a?b?17，则两位数为89、98，余数为4、13．
当a?b?16，则两位数为97、88、79，余数为1、8、15．
则余数最大的为15，因为接下来，除数最大为15，这样余数中最大的也只可能为14，所以余数最大的是15．
专题精讲 同余问题 【例 1】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a?5、2a、a，求这个自然数和a的值. ［分析］ 将这些数转化被该自然数除后余数为2a的数：
?429?5??2?848，791、500?2?1000，这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，同余. 将这三个数相减，得到848?791?57、1000?848?152，所求的自然数一定是57和152的公约数，
而?57,152??19，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，经过验证，当这个自然
数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a?6时成立,所以这个自然数是19，a?6.
［拓展］已知60，154，200被某自然数除所得余数分别是a?1，a2，a3?1，求该自然数的值． ［分析］ 自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a，a2，a3．
自然数612?3721与154同余，61?154?9394与201同余，
所以除数是3567和9193的公约数，运用辗转相除法可得到该除数为29．经过检验成立．
［拓展］甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除
乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
［分析］ 设这个数为M，则603?M?A1??r1 939?M?A2??r2 393?M?A3??r3
r1?2r2,r2?2r3,要消去余数r1,r2,r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．
这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 这样我们可以得到下面的式子：
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603?M?A1??r1
?939?2??M?2A2??2r2 ?393?4??M?2A3??4r3
这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被M整除． 939?2?603?1275，393?4?603?969， ?1275,306??51?3?17．
603，939，393这三个数有公约数3． 51?3?17．则A等于17．
【例 2】 一个自然数减去它的各位数字之和得到的差值，称为“好数”．例如，根据757??7?5?7??738是“好数”．在四位数20□○的方框中填入某个恰当的数字后，可以使得无论圆圈内填入0?9中
的哪个数字，该四位数都不是“好数”，那么在方框中应填写数字__________．
【分析】 注意到所有“好数”都是9的倍数，但9的倍数不一定都是好数．
200x对应的“好数”是200x?2?x?1998； 201x对应的“好数”是201x?2?1?x?2007；
202x对应的“好数”是202x?2?2?x?2016；
…… …… ……
209x对应的“好数”是209x?2?9?x?2079；
210x对应的“好数”是210x?2?1?x?2097；
即在20□○中“好数”只能是2007、2016、2025、2034、2043、2052、2061、2070、2079、2097． 所以，如果在20□○的“□”内填入8，则不管“○”填入什么数都不能是“好数”．
【例 3】 (南京市“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛)现有糖果254粒，饼干210块和桔子186个．某幼儿园
大班人数超过40．每人分得一样多的糖果，一样多的饼干，也分得一样多的桔子．余下的糖果、
1:3:2，饼干和桔子的数量的比是：这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____
块，桔子_____个．
【分析】 法一：设大班共有a名小朋友．由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2，所以余下的
糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而254?186?210一定是a的倍数，即254?186?21?023?0?12?30?10?23?2?是5a的倍数．
同样，2?254?186?322?23?14?23?2?7也一定是a的倍数．所以，a只能是23?2的因数．但a?40，所以a?46．此时254?46?5?24，210?46?3?72，186?46?3?48． 故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个．
法二：如果糖果有254?6?1524粒，饼干有210?2?420块，橘子有186?3?558个，那么余下的
糖果、饼干、橘子的个数相等，所以1524、420、558这三个数的相互之差是大班人数的倍数，1524?420?1104，558?420?138，?1104,138??138，所以幼儿园大班人数是138的大于40的
约数，即138、69、46，经过检验，其中只有46满足条件．每人分得糖果5粒、饼干3块、橘子3块．
余数规律 【例 4】 试求253?168的末两位数． 【分析】 分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．
首先考虑4，253除以4余数是1，所以25310除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的5
次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的余数也是0．
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再考虑25，253除以25余3，则只需看310除以25的余数，又310=27×27×27×3，则310除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余18，则只需看185?324?324?18除以25的余数，可知
余数为18；又24?18?432除以25的余数为7，所以原式除以25的余数即为7．
两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32．
［拓展］试求20072008的末两位数.
2007?2000?7，所以20072008的末两位数与72008的末两位数相同． ［分析］
72008??72?1004?491004??492?502?2401502，2401被100除余1所以2401502被100除得的余数等于
1502，所以20072008的末两位数是01.
［拓展］求14389除以7的余数． ［分析］ 法一：
∵143?3?mod7?(143被7除余3)
∴14389?389?mod7?(14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)
而36?729，729?1?mod7?
66655 ∴389?3?3???3?3?3?5?mod7?． ???????14个 法二：计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如表 ? 31 32 33 34 35 36 37 mod7 3 6 5 3 ? 2 4 1 于是余数以6为周期变化．所以389?35?5?mod7?．
11?22?33?44????20052005除以10所得的余数为多少？ 【例 5】
【分析】 求结果除以10的余数即求其个位数．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而
对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把每个加数的个位数按20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的数字应该是一样的．
首先计算11?22?33?44????2020的个位数字，为4．
2005个加数中有100组另5个数，100组的个位数是4?100?400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1?4?7?6?5?23的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．
L308除以19的余数． 【例 6】 求1203{100个3L308?126L640?63L32 【分析】 法一：1203{{{100个3101个6101个3L32?63L32 ?20?63{{101个3101个3L32 ?19?63{101个3L308除以19的余数为0． 所以1203{100个3 法二：首先计算120308被19除所得余数为0，
1203308?120308?10?228，228也是19的倍数，所以1203308也是19的倍数． 12033308?1203308?10?228，所以1203308也是19的倍数．
L308也是19的倍数． 以此递推可得到1203{100个3学而思教育 六年级 数学 竞赛123班 教师版 第 6讲 Page 4of 9
［拓展］(2008年奥数网杯)已知a?20082008?2008?????????，问：a除以13所得余数是______.
2008个20082008除以13余6，10000除以13余3， ［分析］
注意到20082008?2008?10000?2008；
200820082008?20082008?10000?2008； 2008200820082008?200820082008?10000?2008；
??
根据这样的递推规律求出余数的变化规律：
20082008除以13余6?3?6?13?11，200820082008除以13余11?3?6?39?0，即200820082008是13的倍数，而2008除以3余1，所以a?20082008?2008?????????除以13的余数与2008除以13的余
2008个2008数相同，为6.
【例 7】 对任意的自然数n，证明A?2903n?803n?464n?261n能被1897整除．
1897?7?271，7与271互质，因为2903?5(mod7)，803?5(mod7)，464?2(mod7)，【分析】
261?2(mod7)，所以， A?2903n?803n?464n?261n?5n?5n?2n?2n?0(mod7)，故A能被7整除．
又因为2903?193(mod271)，803?261(mod271)，464?193(mod271)，所以
A?2903n?803n?464n?261n?193n?261n?193n?261n?0(mod271)，故A能被271整除． 因为7与271互质，所以A能被1897整除．
【例 8】 在下表中填入自然数，要求第一行中所填入的自然数从左到右依次是13，23，33，?，第
中填入的自然数从左到右依次是31，32，33，?，第三行中填入的自然数是同一列当中第一行、第二行两个数的和，那么第三行的自然数中除以7余1的最小的数排在第几列？ 8 125 216 27 64 …… 1 3 9 81 243 729 27 …… 17 145 368 945 54 …… 4 【分析】 第一行的数被7除所得余数依次是1，1，6，1，6，6，0，……，以7为周期．
第二行的数被7除所得的余数依次是3，2，6，4，5，1……，以6为周期．
第三行的自然数如果除以7余1，那么对应第一行、第二行的自然数被7除，只有0+1和6+2两种情况，其中第一种情况下，对应的列数能被7和6整除，所以在第42列才能出现该情况， 第二种情况下，对应的列数被7除余3，5，6，被6除余2，符合条件的最小列数是20．
“物不知数” “物不知数问题”一般解题步骤：
①凑“多”相同，即把余数处理成相同 条件：余数与除数的和相同 ②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同 条件：除数与余数的差相同 ③先考虑上面两种，如果都不行，可使用逐步满足法或使用“中国剩余定理” ．
④逐步满足法：先满足条件一，得N，再用“M?N?已满足除数公倍数”来满足下一个条件．
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