《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思就是，有一些物品，如果3个3个的数，最后剩2个；如果5个5个的数，最后剩3个；如果7个7个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”， 西方数学家把它称为“中国剩余定理”．到现在，这个问题已成为世界数学史上闻名的问题． 到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：
三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝； 七子团圆正半月， 除百零五便得知．
用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70；用5除，除得的余数乘21；用7除，除得的余数乘15．最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少．
《孙子算经》中这个问题的算法是：
70?2?21?3?15?2?233；233?105?105?23； 所以这些物品最少有23个．
得出问题中的系数70、21、15，实际上是非常巧妙的构造过程,这三个数满足以下条件 70是5和7的公倍数，且被3除余1； 21是3和7的公倍数，且被5除余1； 15是3和5的公倍数，且被7除余1．
在这样的条件下，任意一个系数乘以对应余数所得的积，被对应除数除后所得的余数恰好等于对应余 数，且该积仍然能被其他两个除数整除，因此三个积相加并不相互影响各自被对应除数除后所得的余数． 即70a?21b?15c是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数．
【例 9】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？ 【分析】 法一：仔细分析可以发现3?2?1?5?2?7，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，?3,5,11??165，
所以这个数最小是165?7?172．
法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，在7的基础上加上3，5，11的最小公倍数，得到172即为所求的数．
［铺垫］一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为＿＿＿＿． ［分析］ 根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是5?3?7?1?8，这样我们可以把余
数都处理成8，所以?5,7,9??315，所以这个数最小为315?8?323．
［铺垫］一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？ ［分析］ 根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11?8?13?10?3，观察发现这个数加上3后
就能同时被11和13整除,所以?11,13??143，所以这个数是143?3?140．
【例10】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为＿＿＿＿． 【分析】 法一：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”，步
骤如下：
3、5的公3、7的公 5、7的公倍数 倍数 倍数 15 21 35 30 42 70 45 63 105 60 84 140 …… …… …… 分别找出除以7余4的3、5的公倍数，除以5余3的3、7的公倍数，除以3余2的5、7的公倍数，分别是：60、63、35
可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数
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的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为：158-105=53．
法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合前两个条件的最小自然数，用3不断加2，
当2被加上两个3时得到8，检验符合前两个条件，再用3和5的最小公倍数不断加8，当8被加上3个15，得到53，检验符合三个条件．
法三：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，用7不断加4，
当4被加上两个7时得到18，检验符合后两个条件，再用7和5的最小公倍数不断加18，当18被加上1个35，得到53，检验符合三个条件．
【例11】 有连续的三个自然数a、a?1、a?2，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最
小的数至少是多少？
【分析】 法一：由a?1是8的倍数，得到a被8除余7，由a?2是7的倍数，得到a被7除余5，运用中国
剩余定理求a：(用逐步构造的方法也可以) 7和8的7和9的8和9的公倍数 公倍数 公倍数 56 63 72 112 126 144 168 189 216 224 252 288 280 315 378 441 …… …… …… 441?7?288?5?4527符合各个余数条件，4527??7?8?9??8?495是满足各个余数条件的最小值，所以a至少是495．
法二：a、a?1、a?2恰好分别是9、8、7的倍数，那么a?9、a?1?8、a?2?7也分别是9、
8、7的倍数，即a?9是9、8、7的倍数，a?9的最小值是9?8?7?504，即a至少是495．
【例12】 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数： 【分析】 将3、5、7、11这4个数3个3个分别计算公倍数，如表： 5、7、11公倍数 3、7、11公倍数 3、5、11公倍数 3、5、7公倍数 385 231 165 105 770 462 330 210 1155 693 495 315 …… …… …… …… 除3余2的最小除5余3的最小除7余4的最小 数是770 值是693 值是165 3、5、7公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以210×5=1050 被11除余5，由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以2678-1155×2=368是符合条件的最小值．
［拓展］一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小数． ［分析］ 本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，
符合条件的最小偶数是368，只要将368加上3×5×7×11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368+3×5×7×11=1523．
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巩固精练 1． 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的
一个是多少？
【分析】 由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所
得的余数为25，所以63+90+130-25=258能被这个自然数整除.258=2×3×43，显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6，3×(6-1)=15，所以均不能满足条件.
当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满足.
那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足. 显然这3个余数中最大的为20． 2．
?312008?200831?被13除所得的余数是多少？
31被13除所得的余数为5，31n当n取1，2，3，?时31n被13除所得余数分别是5，12，8，【分析】
1，5，12，?所以312008被13除余1．2008被13除所得的余数是6，6n当n取1，2，3，?时，6n被13除所得的余数分别是6，10，8，9，2，12，7，3，5，4，11，1，6，??所以631被13除所得的余数等于67被13除所得的余数，即7，所以312008?200831被13除所得的余数是
??1?7?8．
8、9后分别余3、5、7，3． 一个自然数除以7、而所得的三个商的和是758，这个数是___________．
【分析】 这个数加上11后能被7、8、9整除．
7、8、9的最小公倍数是7?8?9?504，所以除以7,8,9后分别余3、5、7的数最小为504?11．504分别除以7、8、9所得的商之和是8?9?7?8?7?9?191，041?1分别除以7、则58、9所得的商之和是191?2?3?185．758?185?191?3，所以这个数为504?11?504?3?2005．
4． 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数． 【分析】 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”．
?5,6??2?28，即28适合前两个条件．
分析28??5,6??x中能满足“除以7余1”的x的值．
可得到x?4是满足条件的最小值，所以，适合条件的最小的自然数是28?30?4?148．
5． 将一些水果装盘（少于100）个，如果7个7个装盘则剩下2个不能装，如果11个11个装盘则
剩下6个不能装盘，如果13个13个装盘，那么还剩下7个不能装盘，那么这些水果有多少个？
【分析】 11×13的倍数：143、286、429，……其中被7除余2的有429； 7×13的倍数：91，182，……除以11余6的有182； 7×11的倍数：77，154，……除以13余7的有462．
182?462?429?1073，由于水果数少于100，所以水果数有1073?1001?72个．
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拒子入门
子发是战国时期楚国的一位将军．一次，他带兵与秦国作战，前线断了粮草，他派人向楚王告急．使者顺便去看望子发的老母．老人问使者：“兵士都好吗?”使者回答：“还有点儿豆子，只能一粒一粒分着吃．”“你们将军呢?”母亲问．使者回答道：“将军每餐都能吃到肉和米饭，身体很好．”
子发得胜归来，母亲紧闭大门不让他进家门，并派人去告诉子发：“你让士兵饿着肚子打仗，自己却有吃有喝，这样做将军，打了胜仗也不是你的功劳．”母亲又说：“越王勾践伐吴的时候，有人献给他一罐酒，越王让人把酒倒在江的上游，叫士兵们一起饮下游的水．虽然大家没尝到酒味，却鼓舞了全军的士气，提高了战斗力．现在你却只顾自己不顾士兵，你不是我的儿子，你不要进我的门．”
子发听了母亲的批评，向母亲认了错，决心改正，才得以进家门．
俗话说：“子不教，父之过．”子女成长的好坏，长辈有着极大的责任．父母为了使孩子成长成参天大树，就必须在我们心中植下博爱之心，有了博爱之心，才有施爱于他人的可能．多以有时候，责备也蕴涵着父母对子女深沉的爱．
选绿色包装
——减少垃圾灾难
每人每年丢掉的垃圾重量超过人体平均重量的五六倍．北京年产垃圾430万吨，日产垃圾1.2万吨，人均每天扔出垃圾约1千克，相当于每年堆起两座景山．我国目前垃圾的产生量是1989年的4倍,其中很大一部分是过度包装造成的．不少商品特别是化妆品、保健品的包装费用已占到成本的30%—50%．过度包装不仅造成了巨大的浪费，也加重了消费者的经济负担，同时还增加了垃圾量，污染了环境．
我们选购产品的时候还是以使用价值为主，尽量避免选购过度包装的产品，减少垃圾的制造量．
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