第6讲 工程问题
多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题．解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转化．
1．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了2乙一共加工零件多少个?
2小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问5111－=. 812242118484 甲调出后，剩下工作乙需做(8—2)×(÷)=(小时)，所以乙每小时加工零件420÷=25
58245522个，则2小时加工2×25=60(个)，因此乙一共加工零件60+420＝480(个)．
55【分析与解】乙单独加工，每小时加工
2．某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成．如果由甲、乙两人合作，需48天完
成．现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天?
【分析与解】 由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工作20 天，也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天．
所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作63÷3×4=84天， 即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程． 现在甲先单独做42天，相当于乙单独工作42÷3×4=56天，即乙还需单独工作112—56=56天即可完成这项工程．
3．有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?
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【分析与解】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为
1111++=，那么它们6天完成的工程量为101215413×6=，而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1． 4231111 所以－1=是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需÷=5(天)才能完成的工程量，所以
222102甲队在6天内撤出了5天．
所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成．
4．一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半．现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用了多少天?
【分析与解】 甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于乙队做2天．
即甲的工作效率是乙的应是： 8÷(1+l+
22，从而乙单独做12×=8(天)完成，所以两段所用时间相等，每段时间332)＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)． 3
5．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的
1．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？ 51，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量811之和，因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的；
81611 由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的，即丙每天抄写书稿的；于是
8481111可知乙每天抄写书稿的－－＝.
81648241 所以乙一人单独抄写需要1÷=24天才能完成．
24【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的
6．游泳池有甲、乙、丙三个注水管．如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池．那么，单开丙管需要多少小时注满水池?
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113-=,
820401311 丙管每小时注满水池的-=. 6401201112010 因此，单开丙管需要1÷==10(小时)．
1201111【分析与解】 乙管每小时注满水池的
7．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12
天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?
【分析与解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是
111、、. 8612 对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．
即
11111+－=，所以甲、丁合作的工作效率为． 81262424所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．
8．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那
么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?
【分析与解】 方法一：对于工作效率有： (甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即为
11113+－=为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率89187221． 1441131－＝ 914448 而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为 那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷
1=48天． 481112121 方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋＋＝，所以(甲，乙，丙)=
891872722121÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．
1441442111 那么丙单独工作的工作效率为－＝，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．
144848
9．某工程如果由第1、2、3小队合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小队合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完成．那么这5个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程?
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【分析与解】 由已知条件可得，
对于工作效率有：
(1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)． 所以5个小队一起合作时的工作效率为： （
11111＋＋2×＋）÷3＝ 1278426所以5个小队合作需要6天完成这项工程.
评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的.
10．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水?
【分析与解】 设甲管注入18吨水所需的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，那么乙管注入18吨的水所需时间为“O.5”，所以乙管注入27吨水所需的时间为27÷18×0.5=0.75.
以下采用两种方法：
方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”，那么有：
因此18+“1”=27+“O.75”，则“0.25”=9吨，所以“1” =36吨，即丙在单位时间内灌入36吨的水． 所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水．
方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的
3． 43(2+丙)；所4 再设甲单独灌水的工作效率为“1”，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有1+丙=
以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌时，丙也灌了27吨，那么水箱最多可容纳27+27=54吨水．
11.某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时．水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完．问水池中原有水多少立方米?
【分析与解】 甲每小时注水100÷10=10(立方米)，
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乙每小时注水100÷15= 设排水管每小时排水量为“排”，
则(“排”－10－
20(立方米)， 32050)×3=(“排”－10)，整理得3“排”－3×=“排”－10,2“排”=40，33则“排”=20．
所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)．
12．一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管．当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池．现在需要在2小时内将水池注满，那么最少要打开多少个进水管?
【分析与解】 记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进”，排水管的工作效率为“排”，那么有：
11， 2“进”－“排”=. 51511211 所以有，2“进”=(－)=，那么“进”=，则“排”=.
515151515 4“进”－“排”=
题中需同时打开x个进水管2小时才能注满，有： x“进”－“排”=
1111，即x－=，解得x=8.5 215152所以至少需打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满．
13．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有
1池水．如6果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问经过多少时间后水开始溢出水池?
【分析与解】 方法一：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开l小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的
111170－＋－=. 34566 最优情况为：在完整周期后的1小时内灌满一池水．因为此时为甲管进水时间，且甲的效率是四条管子中最大的．
那么在最优情况下：完整周期只需注入1－ 所需周期数为
111－＝池水． 632170302÷＝＝4 276717173＋×5=＋＝ 6606124 那么，至少需要5个完整周期，而5个完整周期后，水池内有水
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