第8讲 不定方程与整数分拆
求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．
补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题].
解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．
本讲讲解顺序：③?包括1、2、3题?④?②?①包括4、5题?③?包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．
复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．
整数分拆问题：11、12、13、14、15．
1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?
【分析与解】 设这个两位数为ab，则数字和为a?b，这个数可以表达为
10a?b，有?10a?b???a?b??4
即10a?b?4a?4b，亦即b?2a．
注意到a和b都是0到9的整数，且a不能为0，因此a只能为1、2、3或4，相应地b的取值为2、4、6、8．
综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．
2．设A和B都是自然数，并且满足
AB17??,那么A+B等于多少? 11333
【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．
3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?
【分析与解】设购买甲级铅笔x支，乙级铅笔y支．
有7x+3y=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：
将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：
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得x=2(mod 3)，所以x可以取2，此时y取12；x还可以取2+3=5，此时y取5；
?x?2?x?5 即?、?,对应x?y为14、10
y?12y?5?? 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．
4．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?
【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张， 列方程如下：
a?b?c?d?60?1??? 由?
a?10b?100c?1000d?100002???? (2)(1)得9b?99c?999d?9940??③
注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．
5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不
计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?
【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．
另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米． 因此剩余部分的管子最少是2厘米．
6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?
【分析与解】设男职工x人，孩子y人，则女职工3y-x人(注意，为何设孩子数为y人，而不是设女
职工为y人)， 那么有13x?10?3y?x??6y=216，化简为3x?36y=216，即x?12y=72．
有???x?12?x?24?x?36?x?48?x?60. ?????y?5?y?4?y?3?y?2?y?1?学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 42 of 73
但是，女职工人数为3y?x必须是自然数，所以只有?那么男职工数只能为12名
?x?12时，3y?x?3满足． y?5?
7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?
【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别x，y根，则0.7x+0.8y=3.4 3.6，?
即7x+8y=34，36，37，38，39
将系数，常数对7取模，有y≡6，l，2，3，4(mod 7)，于是y最小分别取6,1, 2，3，4．
但是当y取6时，8×6=48超过34，x无法取值．
所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．
8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?
【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．
所以，2分，10n+2分应该为平信的邮费，n最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．
于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．
9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?
【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18 ??4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7k克重． 设3克的砝码x个，5克的砝码y个，则3x?5y?4?7k． 当k=0时，有3x?5y?4，无自然数解；
当k=1时，有3x?5y?11，有x=2，y=1，此时7克的砝码取17个，所以共
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需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．
当k>1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取
砝码情形．
所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．
10．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?
【分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e) 件，则有
2.9?10?b?c?d?e??4.7b?7.2c?10.6d?14.9e=60． 18b?43c?77d?120e=310，显然e只能取0，1，2． Ⅰ
有18b?43c?77d=310，其中d可取0，1，2，3，4．
(1)当d=0时，有18b?43c=310，将系数，常数对6取模得：
c≡4(mod 6)，于是c最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b不为自然 数．所以d=0时。不满足； (2)
有18b?43c=233，将系数，常数对6取模得：
c≡5(mod 6),于是
最小
,那么有18b=233-43×5=18,
； (3)
有18b?43c=156，将系数，常数对6取模得：
c≡O(mod 6)，于是c最小取0，那么有18b=156，b不为自然数，所以d=2
时，不满足； (4)
有18b?43c=79，将系数、常数对6取模得：
c≡1(mod 6)，于是
最小
那么有18b=79—43=36．
(5)当d=4时，有18b?43c=2，显然不满足． Ⅱ有18b?43c?77d=190，其中d可以取0、1、2．
(1)
有18b?43c=190，将系数、常数对6取模有：
c≡4(mod 6)，于是
最小
那么有18b=190-43×4=18
,
(2)当d=1时，有18b?43c=113，将系数、常数对6取模有：
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c≡5(mod 6)，于是c最小取5，即18b+215=113，显然d=1时，不满足；
(3)
时
有18b?43c=36,显然有Ⅲ
有18b?43c?77d=70，d只能取0，
有18b?43c=70，将系数、常数对6取模有：
c≡4(rood 6)，于是c最小取4，那么有18b+172=70，显然不满足 最后可得到如下表的满足情况：
共有4种不同的选购方法．
11．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每11人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张?
【分析与解】 钱数除以5余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片．因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共买10×9=90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张．
12．哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1．
【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71．
其中168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有 168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解．
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