2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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日期： 2011 年 9 月 12 日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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天然肠衣搭配问题
摘要
本文讨论了天然肠衣原料合理搭配生产成品的最优化问题，通过分类讨论，构建了线性规划模型，运用lingo软件编写程序求解，得出了本问题的最优化的解决方案。
针对本文的题目要求，我们讨论了以下两种情况,分别是：
1.我们根据长度将成品分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三大类。在现有给定的原料情况下，使生产成品达到最优化，即生产成品的捆数最多。我们采用了分类讨论的方法，主要细分了两种情况：第一，原料每个分档可以是自己独立的成为一捆成品；第二，原料每个分档可以与其它分档进行匹配成为一捆成品。我们采用了捆绑法和逆推法的思想进行建模求解，所谓逆推法的思想，即是从第三部开始求解，使之产生的成品最多。如果说第三部分的原料有剩余，那么把剩余的原料降到第二部分的原料中，以此类推。
2.所有剩余原料的匹配问题。这里不仅要考虑方案最优，又要总产品中最短长度的成品数目越多，我们可以通过线性规划求的最优解，然后进行方案的比较，最后，确定最终的方案。
根据以上讨论我们建立了三个模型，分别进行对其进行求解，其最优解依次为193捆、189捆和190捆。对各个模型中 第Ⅰ大类中使用原料1-6号的长度进行统计，得到各模型使用1-6号原料的总长度依次为6873.3米、6001米、3949.5米。通过统计和比较，我们认为模型1为满足条件（1）和（2）的模型
关键字： 捆绑法 逆推法 lingo软件 线性规划 匹配问题
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一、问题重述
天然肠衣制作加工是我国的一个传统产业。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.50米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。 表1 成品规格表 最短长度 最大长度 根数 总长度 3 6.5 20 89 7 13.5 8 89 14 ∞ 5 89 为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。表2为某批次原料描述。
表2 原料描述表 4.5-4.长度 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 6.5-6.9 根数 43 59 39 41 27 28 34 21 8.5-8.10-10.10.5-10长度 7-7.4 7.5-7.9 8-8.4 9 9-9.4 9.5-9.9 4 .9 根数 24 24 20 25 21 23 21 18 11-11.11.5-1112.5-113-13.13.5-1314-14.14.5-14长度 4 .9 12-12.4 2.9 4 .9 4 .9 根数 31 23 22 59 18 25 35 29 15-15.15.5-1516.5-117-17.17.5-1718-18.18.5-18长度 4 .9 16-16.4 6.9 4 .9 4 .9 根数 30 42 28 42 45 49 50 64 19-19.19.5-1920.5-221-21.21.5-2122-22.22.5-22长度 4 .9 20-20.4 0.9 4 .9 4 .9 根数 52 63 49 35 27 16 12 2 23-23.23.5-2324.5-225-25.25.5-25长度 4 .9 24-24.4 4.9 4 .9 根数 0 6 0 0 0 1 根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
公司对搭配方案有以下具体要求：
(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好； (3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；
(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；
(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。
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二、模型假设
1、假设天然肠衣在加工和匹配中无损坏；
2、总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根； 3、假设原料测量数据准确；
4、假设某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格。 5、假设不同长度的肠衣性质相同，不影响降级使用。
三、问题分析
成品总共有三部分组成，第一部分是长度3—6.5的成品，其中生产的原料有8种不等长度的规格。第二部分是长度7—13.5的成品，其中生产的原料有14种不等长度的规格。第三部分是长度14—25.5的成品，其中生产的原料有24种不等长度的规格。当在原料给定的条件下，求满足要求（1）、（2）和（5）的最佳方案。
我们首先考虑满足要求（1）的方案，即要求给出成品捆数最多的原料搭配方案，客观上要求在生产中做到平衡选择原料数量。按照每组数量的多少选择肠衣原料的数量，这样既使得每捆之间的差别较小，所包含的不同长度的肠衣原料的数量也较为接近，这些可以通过成品总长度的约束条件和成品包含原料的总根数约束条件进行限制；另一方面，要做到成品捆数最多，即就是要做到浪费要少，余下的不能做成一捆成品的剩余肠衣原料尽可能少，故有肠衣原料限制的约束条件。结合实际生产，能够建立一线性整数规划模型，对问题进行说明，得出合理的结论，并给出具体的制造成品的加工方案。
对于要求（2），我们需要比较相同的捆数或相近的加工方案的优劣，具体的标准是最短长度最长的成品越多，方案就越好。因此，我们需要将各种不同模型的结果中最短长度的肠衣原料的数量进行统计，比较其数量关系就可以立即得出相同成品捆数的加工方案中具体哪种最好。
关于要求（5），我们认为通过从模型建立和求解的复杂程度比较，在方案相近的情况下，优先考虑建模和求解简单的模型，已到达制定方案的效率最高，时间最少，给出较为合理的方案。
四、模型建立与求解
我们将原料按长度进行编号（见表3），；按规格将成品分为三大类，假设3-6.5米的为Ⅰ类成品，7-13.5米的为Ⅱ类成品，14-∞米的为Ⅲ类成品。而各大类成品按捆扎方式的不同又包含多种不同的小类，各小类的捆扎方式如表4。
表3 原料按等级编号 长度3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 （米） 序号 1 2 3 4 5 6 7
3
6.5-6.9 8