第22讲 特殊的平行四边形
命题点1 矩形的性质与判定
1．(2013·河北T12·3分)如图，已知线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
甲：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1)．
乙：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2)．
图1 图2
对于两人的作业，下列说法正确的是(A) A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 命题点2 菱形的性质与判定
2．(2017·河北T9·3分)求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O. 求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(B)
A．③→②→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
3．(2013·河北T11·3分)如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD, NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．(2011·河北T14·3分)如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝5．
命题点3 正方形的性质与判定
5．(2011·河北T23·9分)如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG.
(1)求证：①DE＝DG；②DE⊥DG；
(2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；
1
(3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； CE1S正方形ABCD
(4)当＝时，请直接写出的值．
CBnS正方形DEFG
解：(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°. 又∵CE＝AG，
∴△DCE≌△DAG(SAS)． ∴DE＝DG，∠EDC＝∠GDA. ②又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠ADE＋∠GDA＝90°，即∠GDE＝90°. ∴DE⊥DG. (2)如图．
(3)猜想：四边形CEFK为平行四边形． 证明：设CK，DE相交于M点．
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG. ∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD. ∴四边形CKGD是平行四边形． ∴CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF. ∴四边形CEFK为平行四边形． S正方形ABCDn(4)＝2. S正方形DEFGn＋1
命题点4 矩形的分割与正方形的拼接
6．(2014·河北T8·2分)如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠(A)
A．2 B．3 C．4 D．5
2
7．(2015·河北T16·2分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(A)
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
命题点5 特殊四边形之间的联系
8．(2016·河北T6·3分)关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是(C)
A．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形
2
C．若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是正方形
重难点1 矩形的性质与判定
如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点． (1)若AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2，求矩形ABCD的面积．
【思路点拨】(1)在矩形ABCD对角线上有条件，同时还在四边形EFGH对角线上有条件，所以可通过对角线判定矩形；(2)求矩形ABCD的面积可转化成求AC与DG的积或转化成AD与CD的积． 【自主解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴四边形EFGH是矩形．
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.
1111
∵OE＝OA，OF＝OB，OG＝OC，OH＝OD，∴OE＝OF＝OG＝OH.
2222∴四边形EFGH是矩形．
∵DG⊥AC，OG＝2，∴OD＝4.∴DG＝23.
1
又∵AC＝4OF＝8，∴S△ADC＝AC·DG＝83.
2
∴S矩形ABCD＝2S△ADC＝163.
【变式训练1】如图，四边形ABCD是矩形， AH，BH，CN，DN分别平分∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA.求证：四边形MNGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.
∵AH，BH，CN，DN分别平分∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA， ∴∠HAB＝∠HBA＝∠DCN＝∠CDN＝∠MDA＝∠MAD＝ 45°. ∴∠HMN＝∠AHB＝∠CND＝90°. ∴四边形MNGH是矩形． 方法指导
1．判定矩形的一般思路：首先判定该四边形是平行四边形，然后找角或对角线上的特殊关系．若角度易求，则证明一内角为90°即可；若对角线易找，则证明对角线相等即可． 2．利用矩形的性质计算的一般思路：
矩形四个内角均为直角，所以常借助勾股定理计算，又因为矩形对角线相等且互相平分，因此常把这一条件转化到同一个三角形中求解．
注：矩形可以看作两个全等的直角三角形以斜边为重合边拼接而成．Ｋ 重难点2 菱形的性质与判定
3
在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
(1)如图1，若点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形；
图1 图2
(2)如图2，若E，F分别在射线DB和射线BD上，且BE＝DF. ①求证：四边形AECF是菱形；
②若∠AEC＝60°，AE＝6，AB＝BE，求AB的长．
【思路点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合四条边相等的四边形是菱形证明；(2)对于①可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明，对于②可利用菱形的性质，转化到Rt△ABO中进行求解． 【自主解答】解：(1)证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点，
11∴AE＝AB，AF＝AD. 22
又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD.
∵E，F是AB，AD的中点，∴AE＝AF＝OF＝OE. ∴四边形AEOF是菱形．
(2)①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，OA＝OC，BD⊥AC. ∵BE＝DF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF. ∴四边形AECF是菱形．
②∵四边形AECF是菱形，∴AE＝CE，AO⊥EF，∠AEO＝∠CEO. ∵∠AEC＝60°，∴∠AEO＝30°. ∵AE＝6，∴AO＝3.
∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB＝30°.∴∠ABO＝∠AEB＋∠BAE＝60°. AO3
∴在Rt△AOB中，AB＝＝＝23.
sin∠ABOsin60°
【变式训练2】(2018·淮安)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是(A)
A．20 B．24 C．40 D．48
【变式训练3】如图，在?ABCD中，添加一个条件AB＝BC或AC⊥BD使平行四边形ABCD是菱形．
方法指导
1．判定菱形的一般思路：首先判定该四边形是平行四边形，然后找边或对角线上的特殊关系，若边易找，则证明一组邻边相等即可；若对角线易找，则证明对角线互相垂直即可．
2．利用菱形的性质计算的一般思路：菱形对角线互相垂直平分，所以常借助勾股定理计算，又因为菱形四条边都相等，因此常把这一条件转化同一个三角形中求解．
4
注：菱形可以看作两个全等的等腰三角形以底为重合边拼接在一起． 重难点3 正方形的性质与判定
已知：在边长为8的正方形ABCD的各边上截取AE＝BF＝CG＝DH.
(1)如图1，连接AF，BG，CH，DE，依次相交于点N，P，Q，M，求证：四边形MNPQ是正方形； (2)如图2，若连接EF，FG，GH，HE. ①求证：四边形EFGH是正方形；
2
②当四边形EFGH的面积为50 cm时，求tan∠FEB的值．
图1 图2
【思路点拨】(1)先证明四边形MNPQ是矩形，再证明一组邻边相等；(2)①先证明四边形EFGH是菱形，再证明它是矩形；②利用勾股定理，求BE，BF，再利用正切三角函数定义求值． 【自主解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°.
AB＝BC，??
在△ABF和△BCG中，?∠ABC＝∠BCD，
??BF＝CG，
∴△ABF≌△BCG(SAS)．
∴∠BAF＝∠GBC.
∵∠BAF＋∠AFB＝90°，∴∠GBC＋∠AFB＝90°. ∴∠BNF＝90°.∴∠MNP＝∠BNF＝90°.
∴同理可得∠NPQ＝∠PQM＝90°.∴四边形MNPQ是矩形． ∠BAF＝∠CBG，??
在△ABN和△BCP中，?∠ANB＝∠BPC，
??AB＝BC，∴△ABN≌△BCP(AAS)．
∴AN＝BP.
∠BAF＝∠GBC，??
在△AME和△BNF中，?∠AME＝∠BNF，
??AE＝BF，
∴△AME≌△BNF(AAS)．
∴AM＝BN.∴MN＝NP.∴四边形MNPQ是正方形． (2)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. 又∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS)． ∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE. ∴四边形EFGH是菱形．
∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°.∴∠HEF＝90°. ∴四边形EFGH是正方形．
222
②∵四边形EFGH的面积为50 cm，∴EF＝50 cm. 设BE＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm.
5