在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE＋BF＝EF，即x＋(8－x)＝50. 解得x1＝1，x2＝7.
BF
当BE＝1 cm时，BF＝7 cm，tan∠FEB＝＝7；
BEBF1
当BE＝7 cm时，BF＝1 cm，tan∠FEB＝＝. BE71
∴tan∠FEB的值为或7.
7
【变式训练4】(2018·唐山丰南区模拟)如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(B)
22222
A．75° B．60° C．55° D．45°
【变式训练5】已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(D)
A．AC＝BD B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD 方法指导
1．证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三角形．
2．在正方形中求解策略是：利用正方形四个角都是直角或对角线互相垂直且平分相等，通过勾股定理求解．
注：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形以斜边为重合边拼接在一起． 重难点4 图形的剪拼
(2017·河北模拟)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AD＝CD，现把四边形经过某种操作，可以得到与它面积相等的等腰直角三角形，如图，这个操作可以是(C)
A．沿BD剪开，并将△BCD绕点D逆时针旋转90° B．沿AC剪开，并将△ACD绕点C逆时针旋转90° C．沿BD剪开，并将△BCD绕点D顺时针旋转90° D．沿AC剪开，并将△ACD绕点C顺时针旋转90°
提示：如图，沿BD剪开，将△BCD绕点D顺时针旋转90°，由旋转性质可知，CD与AD重合，BD与DE重合，且∠EDB＝90°，∠C＝∠EAD.
6
又∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠C＝180°. ∴∠EAD＋∠BAD＝180°.∴E，A，B在一条直线上． ∴△EDB是等腰直角三角形．
【变式训练6】(2017·河北模拟)在分割矩形的课外实践活动中，甲、乙两人进行如下操作：
甲：如图1，将矩形按图形所示分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的菱形；
乙：如图2，将矩形按图形所示分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的矩形．
图1 图2
下列说法正确的是(A) A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以 方法指导
1．能否剪拼成功的标志是变化前后看面积是否保持不变．
2．虽然位置发生变化，但只有相等的两边才能拼在一起．能拼在一起必是相等边．
注：对一些常见的拼图要熟悉，如“勾股直方图”等．
1．(2018·上海)已知?ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 2．(2018·十堰)菱形不具备的性质是(B)
A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
3．(2018·保定竞秀区二模)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若AB∥CD，则∠1＋∠2＝(A)
A．90° B．100° C．110° D．120°
4．(2018·广州)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)点D在y轴上，则点C的坐标是(－5，4)．
5．(2018·株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为2.5．
7
6．(2018·张家界)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠ADC＝90°， AD∥BC.
∴∠AEB＝∠DAF. 又∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝90°. ∴∠DFA＝∠B.
?在△ADF和△EAB中，?
∠FAD＝∠BEA，?∠AFD＝∠B，
??AD＝EA，
∴△ADF≌△EAB(AAS)．
∴DF＝AB.
(2)由(1)知△ADF≌△EAB， ∴DF＝AB＝4.
∵∠ADC＝∠DFA＝90°，∠FDC＝30°， ∴∠ADF＝60°，∠FAD＝30°. ∴AD＝2DF＝8.
7．(2018·广西)如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
(1)求证：?ABCD是菱形；
(2)若AB＝5，AC＝6，求?ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD. ∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
?∠B＝∠D，在△AEB和△AFD中，?
?BE＝DF，
??∠AEB＝∠AFD，
8
∴△AEB≌△AFD(ASA)． ∴AB＝AD.
∴四边形ABCD是菱形． (2)连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6， 11
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3.
22
∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得BO＝AB－AO＝4.
∴BD＝2BO＝8. 1
∴S?ABCD＝AC·BD＝24.
2
8．(2018·遵义)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.
(1)求证：OM＝ON；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
2
2
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝∠OBA＝45°. ∴∠OAM＝∠OBN＝135°. ∵∠EOF＝∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠BON.
∴△OAM≌△OBN(ASA)． ∴OM＝ON.
(2)过点O作OH⊥AD于点H. ∵正方形ABCD的边长为4， ∴OH＝HA＝2.
∵E为OM的中点， ∴A为HM的中点． ∴HM＝4.
∴OM＝2＋4＝25. ∴MN＝2OM＝210.
9．(2018·唐山滦南县一模)将一个棱长为1的无盖正方体纸盒展开(如图1)，沿虚线剪开，用得到的5张纸片(其中4张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图2)，则所拼得的正方形的边长为(C)
2
2
9
A.
3
2
B.3 C.5 D.6
111
10．(2018·镇江)如图，点E，F，G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE＝AB，CF＝CB，AG＝AD.已知△EFG
333的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于27．
11．(2018·台州)如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，则△BCG的周长为15＋3．
3
提示：△BCE≌△CDF，△BGC为直角三角形，S△BGC＝S四边形DEGF＝. 2
12．(2017·潍坊)边长为6的等边△ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，DE∥AB，EC＝23.
(1)如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由；
(2)如图2，将△DEC绕点C旋转∠α(0°＜α＜360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)
图1 图2
解：(1)当CC′＝3时，四边形MCND′是菱形． 理由：由平移的性质，得CD∥C′D′，DE∥D′E′. ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°. ∴∠ACC′＝180°－∠ACB＝120°. ∵CN是∠ACC′的平分线， 1
∴∠NCC′＝∠ACC′＝60°.
2
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B＝60°＝∠D′E′C′. ∴∠D′E′C′＝∠NCC′.∴D′E′∥CN. ∴四边形MCND′是平行四边形． ∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，
10
∠NCC′＝∠NC′C＝60°，
∴△MCE′和△NCC′都是等边三角形． ∴MC＝CE′，NC＝CC′.
∵E′C′＝EC＝23，四边形MCND′是菱形．
1
∴CN＝CM.∴CC′＝E′C′＝3.
2
(2)①AD′＝BE′，理由：
当α≠180°时，由旋转的性质，得∠ACD′＝∠BCE′， 由(1)知，AC＝BC，CD′＝CE′，
∴△ACD′≌△BCE′(SAS)．∴AD′＝BE′.
当α＝180°时，AD′＝AC＋CD′，BE′＝BC＋CE′， ∴AD′＝BE′. 综上，AD′＝BE′. ②连接CP.
在△ACP中，由三角形三边关系，得AP＜AC＋CP，∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，如图．
∵CD′＝CE′，P为D′E′的中点，∴AP⊥D′E′，PD′＝3.∴CP＝3. ∴AP＝6＋3＝9.
在Rt△APD′中，由勾股定理，得AD′＝AP＋PD′＝221.
13．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指(D)
22
A．S长方形ABNN＝S长方形MNCD B．S长方形EBMF＝S长方形AEFN C．S长方形AEFN＝S长方形MNCD D．S长方形EBMF＝S长方形NFGD
11